平面几何真题汇编

2016-2020 北京中考几何真题汇编

¹ 如图，点 $A,B,C$ 在同一条线上，点 $B$ 在点 $A,C$ 之间，点 $D,E$ 在直线 $AC$ 同侧， $AB<BC$ ，$\angle{A}=\angle{C}=90^\circ$ ，$\triangle{EAB}\cong\triangle{BCD}$ ，连接 $DE$ ，设 $AB=a,BC=b,DE=c$ ，给出下面三个结论：$(1)a+b<c, (2)a+b>\sqrt{a^2+b^2}, (3)\sqrt{2}(a+b)>c$ ；

上述结论中，所有正确结论的序号是：

A. $(1),(2)$ $\qquad$ B. $(1)(3)$ $\qquad$ C. $(2)(3)$ $\qquad$ D. $(1)(2)(3)$

² 如图，直线 $AD,BC$ 交于点 $O$ ，

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⁶ 如图 5 所示，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC,\ BD$ 相交于点 $O,\ E$ 是 $AD$ 的中点，点 $F,\ G$ 在 $AB$ 上， $EF\perp AB,\ OG \parallel EF$ 。

[(1)] 求证：四边形 $OEFG$ 是矩形；
[(2)] 若 $AD=10,\ EF=4$ ，求 $OE$ 和 $BG$ 的长。

⁷ 如图 6 所示， $AB$ 是 $\bigodot O$ 的直径， $C$ 为 $BA$ 延长线上一点， $CD$ 是 $\bigodot O$ 的切线， $D$ 为切点， $OF\perp AD$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ 。

[(1)] 求证：$\angle{ADC}=\angle{AOF}$ ；
[(2)] 若 $\sin C=\dfrac{1}{3},\ BD=8$ ，求 $EF$ 的长。

⁸ 如图 7 所示，在 $\triangle{ABC}$ 中， $\angle{C}=90^\circ$ ， $AC>BC$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点。 $E$ 为直线 $AC$ 上一动点，连接 $DE$ ，过点 $D$ 作 $DF\perp DE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ 。

[(1)] 如图 1 ，当 $E$ 是线段 $AC$ 的中点时，设 $AE=a,\ BF=b$ ，求 $EF$ 的长（用含 $a,b$ 的式子表示）；
[(2)] 当点 $E$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，依题意补全图 2 ，用等式表示线段 $AE,\ EF,\ BF$ 之间的数量关系，并证明。

⁹ 在平面直角坐标系中 $xOy$ 中，$\bigodot O$ 的半径为 $1$ ， $A,\ B$ 为 $\bigodot O$ 外两点， $AB=1$ 。

给出如下定义：平移线段 $AB$ ，得到 $\bigodot O$ 的弦 $A'B'$ ($A',B'$ 分别为点 $A,B$ 的对应点) ，线段 $AA'$ 长度的最小距离值称为线段 $AB$ 到 $\bigodot O$ 的“平移距离”。

[(1)] 如图，平移线段 $AB$ 得到 $\bigodot O$ 的长度为 $1$ 的弦 $P_1P_2$ 和 $P_3P_4$ 中，则这两条弦的位置关系是 $\_\_\_\_\_\_$ ；在点 $P_1,\ P_2,\ P_3,\ P_4$ 中，连接点 $A$ 与点 $\_\_\_\_\_\_$ 的线段的长度等于线段 $AB$ 到 $\bigodot O$ 的“平移距离”；
[(2)] 若点 $A,B$ 都在直线 $y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$ 上，即线段 $AB$ 到 $\bigodot O$ 的“平移距离”为 $d_1$ ，求 $d_1$ 的最小值；
[(3)] 若点 $A$ 的坐标为 $\left(2,\ \dfrac{3}{2}\right)$ ，记线段 $AB$ 到 $\bigodot O$ 的“平移距离”为 $d_2$ ，直接写出 $d_2$ 的取值范围。

¹⁰ 如图 9 所示，在菱形 $ABCD$ 中， $AC$ 为对角线，点 $E,F$ 分别在 $AB,AD$ 上， $BE=DF$ ，连接 $EF$ 。

[(1)] 求证： $AC\perp EF$ ；
[(2)] 延长 $EF$ 交 $CD$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$ 。若 $BD=4$ ，$\tan G=\dfrac{1}{2}$ ，求 $AO$ 的长。

¹¹ 在平面内，给定不在同一条直线上的点 $A,B,C$ ，点 $O$ 到 $A,B,C$ 的距离均等于 $a$ ( $a$ 为常数) ，到点 $O$ 的距离等于 $a$ 的所有点组成图形 $G$ ，$\angle{ABC}$ 的平分线交图形 $G$ 于点 $D$ ，连接 $AD,CD$ 。

[(1)] 求证：$AD=CD$ ；
[(2)] 过点 $D$ 做 $DE\perp BA$ ，垂足为 $E$ ，做 $DF\perp BC$ ，垂足为 $F$ ，延长 $DF$ 交图形 $G$ 于点 $M$ ，连接 $CM$ 。若 $AD=CM$ ，求直线 $DE$ 于图形 $G$ 的公共点个数。

¹² 已知 $\angle{AOB}=30^\circ$ ， $H$ 为射线 $OA$ 上一定点， $OH=\sqrt{3}+1$ ， $P$ 为射线 $OB$ 上一点， $M$ 为射线 $OH$ 上一动点，连接 $PM$ ，满足 $\angle{OMP}$ 为钝角，以点 $P$ 为中心，将线段 $PM$ 顺时针旋转 $150^\circ$ ，得到线段 $PN$ ，连接 $ON$ 。

[(1)] 依题意补全图 1 ；
[(2)] 求证：$\angle{OMP}=\angle{OPN}$ ；
[(3)] 点 $M$ 关于点 $H$ 的对称点为 $Q$ ，连接 $QP$ 。写出一个 $OP$ 的值，使得对于任意的点 $M$ 总有 $ON=QP$ ，并证明。

¹³ 在 $\triangle{ABC}$ 中， $D,E$ 分别是 $\triangle{ABC}$ 两边的中点，如果 $\wideparen{DE}$ 上的所有点都在 $\triangle{ABC}$ 的内部或边上，则称 $\wideparen{DE}$ 为 $\triangle{ABC}$ 的一条中内弧。例如，图 1 中 $\wideparen{DE}$ 是 $\triangle{ABC}$ 的一条中内弧。

[(1)] 如图 2 ，在 $Rt\triangle{ABC}$ 中， $AB=AC=2\sqrt{2}$ ， $D,E$ 分别是 $AB,AC$ 的中点。画出 $\triangle{ABC}$ 的最长的中内弧 $\wideparen{DE}$ ，并直接写出此时 $\wideparen{DE}$ 的长；
[(2)] 在平面直角坐标系中，已知点 $A(2,0),\ B(0,0),\ C(4t,0)(t>0)$ 。在 $\triangle{ABC}$ 中， $D,E$ 分别是 $AB,AC$ 的中点。
[] 若 $t=\dfrac{1}{2}$ ，求 $\triangle{ABC}$ 的中内弧 $\wideparen{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 的纵坐标的取值范围；
[] 若在 $\triangle{ABC}$ 中存在一条中内弧 $\wideparen{DE}$ ，使得 $\wideparen{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 在 $\triangle{ABC}$ 的内部或边上，直接写出 $t$ 的取值范围。

¹⁴ 如图 12 所示，点 $A,B,C,D$ 在 $\bigodot O$ 上， $\wideparen{CB}=\wideparen{CD}$ ，$\angle{CAD}=30^\circ$，$\angle{ACD}=50^\circ$ ，则 $\angle{ADB}=\_\_\_\_\_\_^\circ$.