对称多项式的因式分解

对称式和轮换式

二元对称式

示例： 将 \(x^n+y^n\) 表示为 \(s,p\) 的多项式 \(f_n(s,p)\) 。

解： \(x+y=s\)

\(x^2+y^2=s^2-2p\)

\(x^3+y^3=s^3-3ps\)

\(x^4+y^4=s^4-4ps^2+2p^2\)

\(x^5+y^5=s^5-5ps^3+5p^2s\)

\(x^6+y^6=s^6-6ps^4+9p^2s^2-2p^3\)

\(x^7+y^7=s^7-7ps^5+14p^2s^3-7p^3s\)

☐

示例： 将 \(a^n-b^n\) 表示为 \((a-b)\cdot f_n(s,p)\) 的形式。其中 \(f_n(s,p)\) 是 \(s,p\) 的多项式。再将 \((a^n-b^n)^2\) 表示为 \(s,p\) 的多项式。

解： \(a^2-b^2=(a-b)\cdot s\)

\(a^3-b^3=(a-b)\cdot(s^2-p)\)

\(a^4-b^4=(a-b)\cdot(s^3-2ps)\)

\(a^5-b^5=(a-b)\cdot(s^4-3ps^2+p^2)\)

\(a^6-b^6=(a-b)\cdot(s^5-4ps^3+3p^2s)\)

\(a^7-b^7=(a-b)\cdot(s^6-5ps^4+6p^2s^2-p^3)\)

\(......\)

\(a^n-b^n=(a-b)\cdot(s\cdot f_{n-1}-p\cdot f_{n-2})\)

\((a^n-b^n)^2=(s^2-4p)\cdot(s\cdot f_{n-1}-p\cdot f_{n-2})^2\)

二元对称式的因式分解

示例： 分解因式 \(x^7+y^7-(x+y)^7\)

解： 令 \(s=x+y,\ p=xy\) ，有 \[x^7+y^7-(x+y)^7=-7ps^5+14p^2s^3-7p^3s\]

容易分解因式得到：\(-7ps(s^4-2ps^2+p^2)=-7ps(s^2-p)^2\)

☐

示例： 分解因式 \((a+b)^5-a^5-b^5\)

解： 令 \(s=a+b,\ p=ab\) ，有 \((a+b)^5-a^5-b^5=5ps^3-5p^2s\)

☐

示例： 分解因式 \(x^4+y^4+(x+y)^4\)

解： 令 \(s=x+y,\ p=xy\) ，有

\(x^4+y^4+(x+y)^4=2s^4-4ps^2+2p^2=2(s^2-p)^2\)

☐

示例： 分解因式 \(x^4+x^2y^2+y^4\)

解： 令 \(s=x+y,\ p=xy\) ，有

\(x^4+x^2y^2+y^4=s^4-4ps^2+3p^2=(s^2-p)(s^2-3p)\)

☐

示例： 分解因式 \(a^3+b^3+3ab-1\)

解法一 令 \(s=a+b,\ p=ab\) 则 \[a^3+b^3+3ab-1=s^3-3sp+3p-1=(s^3-1)-(3ps-3p)\]

进一步分解因式得到 \((s-1)(s^2+s+1-3p)\)

☐

解法二 将其看作 \(a\) 的三次多项式 \(\mathbf{a^3}+3b\mathbf{a}+b^3-1\)

分解“常数项” 得到 \(b^3-1=(b-1)(b^2+b+1)\)

在 \(\pm(b-1),\ \pm(b^2+b+1)\) 中试根 ，为了抵消掉原式中的 \(b^3\) 项，显然 \(a=-(b-1)\) 是一个根。

☐

二元基本对称式的局限性

有时候，二元对称式因式分解的结果项均非对称式，此时基本对称式就无法奏效。请看如下示例

示例： 将 \((2x+y)(x+2y)=2x^2+5xy+2y^2\) 分解因式

示例： 分解因式 \[(3 a^2 + b^2) (a^2 + 3 b^2)=(a-b)^4+(a+b)^4+(a^2-b^2)^2\]

解： 虽然出现很多减号，但由于都是平方，所以还是对称式。令 \(s=x+y,\ p=xy\) ，有以下无法奏效的做法：

示例： 分解因式 \(4a^2b^2+2a^3+2b^3+ab\)

示例： 分解因式 \(a^3+a^2b^2+b^3+2a^2b+2ab^2+2a^2+5ab+2b^2\)

示例： 研究 \((a+kb)(ka+b)\) 用 \(s,p\) 表示的特点。

示例： 研究 \((a^n+kb^n)(ka^n+b^n)\) 用 \(s,p\) 表示的特点。

斜对称函数

示例： 以下多项式是斜对称函数

1. \(f(x,y)=x-y\)

2. \(f(x,y)=x^2-y^2\)

3. \(f(x,y)=x^n-y^n\)

4. \(f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)=xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x\)

5. \(f(x,y,z)=x^n(y^m-z^m)+y^n(z^m-x^m)+z^n(x^m-y^m)\)

6. \(f(x,y,z)=(x-y)^{2k+1}+(y-z)^{2k+1}+(z-x)^{2k+1}\)

注：\(f(x,y,z)=(x-y)^{2k}+(y-z)^{2k}+(z-x)^{2k}\) 是对称函数

示例： 证明 \(\Delta_n(x_1,...,x_n)=\displaystyle\prod_{1<j<i\leq n}(x_i-x_j)\) 是斜对称函数。

示例： 证明斜对称多项式 \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) 有因子 \((x_i-x_j)\) 。

三元对称式

示例： 根据前述基本对称多项式定义，展开 \(s^2\) 和 \(sq\) 。

解： \(s^2=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(sq=(x+y+z)(xy+yz+zx)\)

☐

示例： 将 \(x^2+y^2+z^2\) 表示为 \(s,q,p\) 的多项式

解： \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)

☐

示例： 将 \(x^3+y^3+z^3\) 表示为 \(s,q,p\) 的多项式

解： \((x^2+y^2+z^2)(x+y+z)=(s^2-2q)\cdot s\)

\(=x^3+y^3+z^3+x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2\)

\(=x^3+y^3+z^3+(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz\)

\(=x^3+y^3+z^3+sq-3p\)

☐

三元对称式的因式分解

示例： 分解因式 \(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)

解法一这是斜对称函数，所以有 \((x-y)(y-z)(z-x)\) 的因式

☐

解法二 将多项式整理为 \(x\) 的二次函数： \[(y-z)\mathbf{x^2}+(z^2-y^2)\mathbf{x}+y^2z-z^2y\]

可以很容易看出系数有公因式 \(y-z\) 于是得到：\[(y-z)\cdot[\mathbf{x^2}-(y+z)\mathbf{x}+yz]\]

此时有两种做法，一是根据轮换对称特性，立刻得到另外两个因式为 \(z-x\) 与 \(x-y\) ，二是可以直接分解剩下的二次多项式。总之可以得到因式分解的结果为： \((y-z)(x-y)(x-z)\)

☐

点评] 有的教材（[单墫 (2014)）直接就说在 \(x=y\) 时，多项式的值为 \(0\) ，然后根据轮换特性得出结果。这对初学者不友好。

示例： 分解因式 \(x^2(y-z)+y^2(z-x)-z^2(x-y)\)

示例： 证明斜对称多项式 \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) 提取斜对称多项式因式 \(\displaystyle\prod_{1<j<i\leq n}(x_i-x_j)\) 后剩下的部分是对称函数。

示例： 分解因式 \(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\)

解法一 将多项式整理为 \(a\) 的三次函数：\[(b-c)\mathbf{a^3}-(b^3-c^3)\mathbf{a}-(b^3c+bc^3)\]

其中“常数项”：\(-(cb^3+bc^3)=-1\cdot b\cdot c\cdot(b+c)\)

于是在 \(\pm b\)、\(\pm c\)、\(\pm(b+c)\) 以及这几个式子再除以 \((b-c)\) 的结果中试根。其实也不用试太多，因为试出一个，就得产生另外两个轮换对称的。很容易试出 \(a_1=b\) 。于是原多项式有因式 \((a-b)\) ，根据轮换对称特性还有因式 \((b-c)\) 和 \((c-a)\) ，这俩分别是最高次 \(a^3\) 的系数以及 \(a_2=c\) 这个根。

于是原来的多项式有因式 \((a-b)(b-c)(c-a)\)

此时比较 \(a^3\) 的系数，知道剩下一个 \(-(a-k)\) 的因式，那很自然就是对应着 \(a_3=-(b+c)\) 这个根的 \(-(a+b+c)\) 这个因式。

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解法二 该式也是斜对称多项式，故有因子 \((a-b)(b-c)(c-a)\) 。

又因为多项式为四次齐次式，所以剩下的因式应该是一次齐次三元对称式，那只可能是 \(\pm(x+y+z)\) 。

☐

示例： 分解因式 \(a^3+b^3+c^3-3abc\)

解法一 \(a^3+b^3+c^3-3abc=s^3-3sq+3p-3p=s(s^2-3q)\)

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解法二 把多项式看作 \(a\) 的三次函数 \(\mathbf{a^3}-3bc\mathbf{a}+(b+c)(b^2-bc+c^2)\)

因式分解的形式为 \((a+\square)(a^2+\bigstar a+\triangle)\)

\(\square\) 不能是 \(\pm(b^2-bc+c^2)\) ，否则会带来四次项。

\(\square\) 也不能是 \(-(b+c)\) ，否则会带来另外两个因式 \((b-c-a)(c-a-b)\)，并非结果。

于是因式分解的形式为 \((a+b+c)(a^2+b^2+c^2+\bigstar a-bc)\)

由于 \(a+b+c\) 是对称函数，所以\(a^2+b^2+c^2+\bigstar a-bc\) 也是对称函数。

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示例： 分解因式 \[(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3\]

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☐

注意：这里既可以将三次项分为两组，利用 \(m^3\pm n^3=(m\pm n)(m^2\mp mn+n^2)\) 分解因式，也可以硬展开后整理为 \(x\) 的二次函数搞定。请在下面补充完整的过程。

示例： 分解因式 \[(y^2-z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2-x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2-y^2)(1+zx)(1+zy)\]

解： 该式为斜对称多项式，所以具有因式 \((x-y)(y-z)(z-x)\) ，且剩下的因式为 \(x\) 的一次对称多项式。所以因式分解的结果为 \[(x-y)(y-z)(z-x)\cdot[m(xyz)+n(x+y+z)+k]\]

原式不含 \(kx^2\) 项，所以 \(k=0\) 。

提取此处的 \(x^3\) 项：\(-(y-z)(myz+n)x^3\) \(\bigstar\)

提取原式的 \(x^3\) 项：\((y^2-z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2-x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2-y^2)(1+zx)(1+zy)\)

得到 \((-y(1+yz)+z(1+yz))x^3=-(y-z)(1+yz)x^3\) ，与 \(\bigstar\) 比对，得到 \(m=n=1\) 。

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三元基本对称式的局限性

有时候，二元对称式因式分解的结果项均非对称式，此时基本对称式就无法奏效。请看如下示例

示例： 分解因式

\(-x^3-y^3-z^3+x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-2xyz\)

解： 原式 \(=-s^3+3sq-3p+sq-3p-2p=-s^3+4sq-8p\)

上述关于 \(s,q,p\) 的多项式无法分解有理因式。我们不怒反喜，因为这意味着因式没有对称式，只要搞出来一个就相当于得到了三个。所以一定含有三个 \(x\) 的一次式，而且轮换对称。这说明 \(x\) 有三个根（形式也简单，就是 \(y,z\) 的一次式）。

把不含 \(x\) 的部分提取：\(-y^3-z^3+y^2z+yz^2=-(y+z)(y-z)^2\)

由于因式不含对称式 所以根在 \(x=y+z,x=\pm(y-z)\) 里。

恰好是三个根,所以因式分解形式为：\[k(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)\]

容易确定 \(k=-1\) 。

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代数变形（建设中）

示例： 若 \(a,b,c\) 是正数，且满足 \(a+b+c=9,\ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{2}{3}\) ，求 \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\) 的值。

示例： 已知 \(a+b+c=5,\ abc=3\) ，满足 \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{c}}\) ，求 \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) 。

分析 只需要“勇敢地”将 \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{c}}\) 变形，得到 \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) 的部分，然后将其余部分写成 \(a+b+c\) 和 \(abc\) 的函数。

示例： 设 \(a=\sqrt[3]{2}+1\) ，则 \(\dfrac{a^3+a^4}{a^3+1}\)