多项式和因式分解

多项式和因式分解

Perfect Square Trinomial

\((x+y)^2=x^2+\_\_\_\_+y^2\)

\((x+y)^2=(x-y)^2+\_\_\_\_\)

\((x-y)^2=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)

\((x-y)^2=(x+y)^2\_\_\_\_\_\_\)

\((x+y)^2+(x-y)^2=\_\_\_\_\_\_\_\_\)

\((x+y)^2-(x-y)^2=\_\_\_\_\_\_\_\_\)

\((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+\_\_\_\_\_\_\_\_\)

\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )^2+(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )^2+(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )^2}{2}\)

\((w+x+y+z)^2=w^2+x^2+y^2+z^2\)

\(+2(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

Differcence and Sum of Two Squares

\(x^2+y^2=(x+y)^2\_\_\_\_\_\_\)

\(x^2+y^2=(x-y)^2\_\_\_\_\_\_\)

\(x^2-y^2=(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

Differcence and Sum of Two Cubics

\(x^3+y^3=(x+y)(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

\(x^3-y^3=(x-y)(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

\((x+y)^3=(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )=x^3+y^3+3xy(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

\((x-y)^3=(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )=x^3-y^3-3xy(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

Differcence and Sum of Two Powers

\(x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1}),\ \ for\ all\ n\)

\(x^n-y^n=(x+y)((x^{n-1}-x^{n-2}y+...-y^{n-1}),\ \ for\ all\ even\ n\)

\(x^n+y^n=(x+y)((x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1}),\ \ for\ all\ odd\ n\)

完全平方公式

Perfect Square Trinomial

\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)

\((x+y)^2=(x-y)^2+4xy\)

\((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\)

\((x-y)^2=(x+y)^2-4xy\)

\((x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)\)

\((x+y)^2-(x-y)^2=4xy\)

\((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)

\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{1}{2}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]\)

\((w+x+y+z)^2=w^2+x^2+y^2+z^2\)

\(+2(wx+wy+wz+xy+xz+yz)\)

Differcence and Sum of Two Squares

\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)

\(x^2+y^2=(x-y)^2+4xy\)

\(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\)

Differcence and Sum of Two Cubics

\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)

\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\)

\((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y)\)

\((x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=x^3-y^3-3xy(x-y)\)

Differcence and Sum of Two Powers

\(x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1}),\ \ for\ all\ n\)

\(x^n-y^n=(x+y)((x^{n-1}-x^{n-2}y+...-y^{n-1}),\ \ for\ all\ even\ n\)

\(x^n+y^n=(x+y)((x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1}),\ \ for\ all\ odd\ n\)

完全平方（立方）公式：\(m^n+1/m^n\)

示例： 如果 \(m+\dfrac{1}{m}=2\) ，求 \(m^3+\dfrac{1}{m^3}\) 的值。

解法一 利用公式 \((x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)\)
解法二 利用公式 \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)
解法三 先计算 \(m^2+\dfrac{1}{m^2}\) ，再计算 \(m^3+\dfrac{1}{m^3}\)
解法四 求解 \(m\) 再计算 \(m^3+\dfrac{1}{m^3}\)

示例： 如果 \(m+\dfrac{1}{m}=4\) ，求 \(m^4+\dfrac{1}{m^4}\) 的值。

示例： 如果 \(m-\dfrac{1}{m}=1\) ，求 \(m^3-\dfrac{1}{m^3}\) 的值。

示例： 如果 \(m-\dfrac{1}{m}=1\) ，求 \(m^8+\dfrac{1}{m^8}\) 的值。

思考与讨论

二次式因式分解

二次式 \((x+a)(x+b)\)

如果 \(x_1,x_2\) 是 \(x^2+bx+c=0\) 的两个根，则：\[x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)\]

而且 \(b=x_1+x_2,\ c=x_1\cdot x_2\) （韦达定理）

请注意这里的 \(b,c,x_1,x_2\) 并不局限于数字，它们也可以是含有 \(y,z,m,k...\) 的代数式。可以用观察法、代数变形或求根公式得到方程的根，进而实施变换。

示例： 直接写出相乘展开的结果 （限时 2min）

  1. \((x+1)(x+2)\)

  2. \((x+3)(x+5)\)

  3. \((x-1)(2x+3)\)

  4. \((3x+4)(x+2)\)

  5. \((2x+1)(2x+3)\)

  6. \((3x-1)(2x-5)\)

  7. \((4x-7)(3x+1)\)

  8. \((x+4)(1-7x)\)

  9. \((2-x)(3-2x)\)

  10. \((4-3x)(x+5)\)

示例： 直接写出因式分解的结果 （限时 2min）

  1. \(x^2+12x+20\)

  2. \(x^2-12x+20\)

  3. \(x^2-4x-5\)

  4. \(x^2-9x-22\)

  5. \(6x^2-13x+6\)

  6. \(2x^2+7x+3\)

  7. \(2x^2-5x+3\)

  8. \(-x^2+x+56\)

示例： 分解因式 \(xy+x+y+1\)

解法一 分组提取因式

解法二 求根法

示例： 分解因式 \(2xy+4x+3y+6\)

示例： 分解因式 \(6xy+10x+9y+15\)

示例： \(x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z\) has (    )

  1. no linear factor with integer coefficients and integer exponents

  2. the factor \(-x+y+z\)

  3. the factor \(x-y-z+1\)

  4. the factor \(x+y-z+1\)

  5. the factor \(x-y+z+1\)

解法一 猜测形式，比对系数，凑出因式分解
解法二 恰当分组，逐步分解因式
解法三 求根法

示例： （2014北京）已知关于 \(x\) 的方程 \(mx^2-(m+2)x+2=0\) , \(m\neq0\)

（1）求证方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 \(m\) 的值。

示例： 将 \(12x^2-11xy-15y^2\) 分解因式。

示例： 将 \(-20xy+64y^2+x^2\) 分解因式。

示例： 将 \((b+c)x^2-(b^2+c^2+3bc)x+bc(b+c)\) 分解因式。

示例： 将 \(a(a+1)x^2+(2a^2+2a+1)x+a(a+1)\) 分解因式。

示例： 分解因式： \(x^2+2xy-3y^2+3x+y+2\)

解法一 将其看作 \(x^2+bx+c\) ，分解 \(c\) 的因式。

解法二 分解 \(x^2+2xy-3y^2\) ，然后凑常数项。

示例： 分解因式： \(6x^2-5xy-6y^2+2x+23y-20\)

示例： 分解因式：\(x^2-6xy+9y^2-5xz+15yz+6z^2\)

解： 对于含有 \(z\) 的二次齐次式，无视 \(z\) 即可。

示例： 分解因式：\(a^2+4ac+3c^2-3ab-7bc+2b^2\)

示例： 分解因式：\(x^2-y^2+5x+3y+4\)

解： 少 \(xy\) ，先分解 \(x^2-y^2\) 便利

示例： 分解因式：\(x^2+3xy+2y^2+2x+4y\)

解： 少常数项，先分解 \(x^2+bx+c\) 里的 \(c\)

示例： 分解因式：\(a^2b-ab^2+a^2c-ac^2-3abc+b^2c+bc^2\)

示例： 分解因式：\(x^2+2(a+b)x-3a^2+10ab-3b^2\)

三次式因式分解

示例： 写出下列乘积的展开式（参考时间 2.5min）

  1. \((x+1)(x^2+x+1)\)

  2. \((x-1)(x^2+x+1)\)

  3. \((x+2)(x^2+x+1)\)

  4. \((x-2)(x^2+x+1)\)

  5. \((x+3)(x^2-x+1)\)

  6. \((x-3)(x^2-x+1)\)

  7. \((x+4)(x^2-x-1)\)

  8. \((x-4)(x^2-x-1)\)

示例： 写出下列乘积的展开式（参考时间 3min）

  1. \((2x+1)(x^2+x+1)\)

  2. \((2x-1)(x^2+x+1)\)

  3. \((2x+2)(x^2+x+1)\)

  4. \((2x-2)(x^2+x+1)\)

  5. \((3x+3)(x^2-x+1)\)

  6. \((3x-3)(x^2-x+1)\)

  7. \((3x+4)(x^2-x-1)\)

  8. \((3x-4)(x^2-x-1)\)

示例： 写出下列乘积的展开式（参考时间 3min）

  1. \((2x+1)(2x^2+x+1)\)

  2. \((2x-1)(3x^2+x+1)\)

  3. \((2x+2)(2x^2+x+1)\)

  4. \((2x-2)(3x^2+x+1)\)

  5. \((3x+3)(2x^2-3x+1)\)

  6. \((3x-3)(2x^2-3x+1)\)

  7. \((3x+4)(2x^2-3x-2)\)

  8. \((3x-4)(2x^2-3x-2)\)

示例： 写出当 \(f(1),\ f(-1),\ f(2),\ f(-2)\) 时表达式的值

  1. \(x^3+x^2+x+1\)

  2. \(x^3-x^2+x-1\)

  3. \(x^3+2x^2+3x+6\)

  4. \(x^3+5x^2-2x-8\)

  5. \(2x^3-2x^2-3x-2\)

  6. \(2x^3+3x^2-9x-10\)

示例： 补齐因式分解（参考时间 2min）

  1. \(x^3+3x^2+3x+1=(x+1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  2. \(x^3+4x^2+7x+4=(x+1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  3. \(x^3-x^2+x+3=(x+1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  4. \(x^3-3x^2-3x+1=(x+1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

示例： 补齐因式分解（参考时间 2min）

  1. \(x^3-1=(x-1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  2. \(x^3+x^2-2=(x-1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  3. \(x^3+3x^2-x-3=(x-1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  4. \(x^3+3x^2+x-5=(x-1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

示例： 补齐因式分解（参考时间 2min）

  1. \(x^3+6x^2+13x+10=(x+2)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  2. \(x^3-2x^2-6x+4=(x+2)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  3. \(x^3+x^2-10x+8=(x-2)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  4. \(x^3+3x^2-11x+2=(x-2)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

示例： 补齐因式分解（参考时间 2min）

  1. \(2x^3+5x^2+x-2=(x+1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  2. \(2x^3+5x^2+x-2=(x+2)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  3. \(3x^3-8x^2+3x+2=(x-1)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

  4. \(3x^3-8x^2+3x+2=(x-2)\cdot(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )\)

\((x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc\)

示例： 写出以下乘积的展开式

  1. \((x+1)(x+1)(x+1)\)

  2. \((x+2)(x+2)(x+2)\)

  3. \((x+1)(x+2)(x+3)\)

  4. \((x-1)(x+2)(x+3)\)

示例： 写出以下乘积的展开式

  1. \((2x+1)(x+1)(x+1)\)

  2. \((2x-1)(x+2)(x+2)\)

  3. \((2x+3)(2x+1)(x+2)\)

  4. \((2x+3)(3x-1)(x+2)\)

多项式的有理根

对于多项式 \(f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0\) ：

示例： 分解因式 \(x^3+3x^2-11x+2\)

解： 其有理根只可能为 \(\pm1,\ \pm2\)

示例： 分解因式 \(x^3+6x^2+11x+6\)

示例： 分解因式 \(x^3-9x^2+26x-24\)

示例： 分解因式 \(-24y^3+26y^2-9y+1\)

示例： 分解因式 \(8x^3+4(a+b+c)x^2+2(ab+bc+ca)x+abc\)

解： 利用对称性，直接写出结果

示例： 分解因式 \((a-1)x^3-ax^2-(a-3)x+(a+2)\)

示例： 分解因式 \(x^3+px^2+px+p-1\)

示例： 分解因式 \(3x^3+6x^2+4x+8\)

示例： 分解因式 \(5x^4+12x^3+17x^2+9x-7\)

四次式因式分解

一个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式的乘积，那么也一定能分解为两个整系数的因式的积。

示例： 写出以下乘积的展开式

(1). \((x^2+x+1)(x^2+x+1)\)

(2). \((x^2-x+2)(x^2-x+2)\)

(3). \((x^2+x+2)(x^2+x+3)\)

(4). \((x^2+2x+2)(x^2-2x+3)\)

(5). \((x^2+3x+1)(x^2-3x+1)\)

(6). \((x^2+3x+2)(x^2-3x-2)\)

(7). \((2x^2+3x+2)(x^2+x+4)\)

(8). \((3x^2+2x+1)(2x^2-3x+1)\)

四次式不含一次实系数因式，就一定能分解成两个二次实系数因式。我们先来学习分解为整系数因数的方法。这要求你“有胆有识”地猜测并尝试。

示例： 分解因式 \(x^4+x^3+2x^2-x+3\)

解： 第一步：因式分解的结果的可能形式：

\((x^2+\square x+1)(x^2+\triangle x+3)\) 或 \((x^2+\square x-1)(x^2+\triangle x-3)\)

第二步：猜一个尝试方向（错了再返回来）

系数大多数是正的，猜 \((x^2+\square x+1)(x^2+\triangle x+3)\)

第三步：用其它的系数确定 \(\square\) 和 \(\triangle\) 的值，比如使用 \(x^3\) 和 \(x\)。

直接看出来或解方程组\[\begin{equation*}\begin{cases} \quad\square+\triangle&=1\\ 3\cdot\square+\triangle&=-1 \end{cases} \end{equation*}\]

得到 \[\begin{equation*}\begin{cases}\square=2\\\triangle=-1\end{cases}\end{equation*}\]

此时除方程组的二次项系数外，各项系数都成立：\[x^4+x^3+\bigstar x^2-x+3\]

第四步：检查剩下的系数\(\bigstar x^2\)，正确，因此得到结果： \[x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+2x+1)(x^2-x+3)\]

（如果第二步试错了，这一步会检查不过，返回第二步）

☐


示例： 分解因式 \(2x^4-x^3+6x^2-x+6\)

示例： 分解因式 \(2x^4+3x^3-6x^2-3x+2\)

示例： 证明 \(x^4-2x^2+1\) 无法分解成整系数二次因式之积。

示例： 证明 \(x^6+3x^3-1\) 无法分解成整系数三次因式之积。