三角函数-II：任意角的三角函数

任意角的定义

为了进一步研究三角函数，需要对“角”这一概念进行扩展。

射线 \(m\) 逆时针旋转至 \(n\) 形成的角 \(\angle\theta,\angle{PVQ},\angle{V}\)

旋转生成的各种角度

为了研究和讨论的方便，我们常常将角置于平面直角坐标系中的标准位置：顶点位于原点，始边位于 \(x\) 正半轴。

象限角

弧度制

为了描述一个角的大小，我们有两种方法：角度制和弧度制。角度制将圆周分为 \(360\) 度，将 \(1\) 度分为 \(60\) 分，将 \(1\) 分再细分为 \(60\) 秒。弧度制则是将圆周对应为 \(2\pi\) ，欲度量的角各取其分即可。从小学至初中，同学们已经熟悉了角度制。从本章开始，我们将引入弧度制。

在讲述弧度制之前，我们先通过一道例题复习一下角度制。

示例： 将“度-分-秒”(DMS) 格式为十进制度(DD)格式。

1. 将 \(21^\circ47'12"\) 转换为 DD 格式

2. 将 \(105.183^\circ\) 转换为 DMS 格式

圆形角 \(\theta\) 所对的圆弧 \(s\)

初学者应当首先熟悉各象限角的角度制和弧度制的互换：\(90^\circ\) 角对应 \(\dfrac{\pi}{2}\) 弧度 ，\(180^\circ\) 角对应 \(\pi\) 弧度 ，\(270^\circ\) 角对应 \(\dfrac{3\pi}{2}\) 弧度 ，\(360^\circ\) 角对应 \(2\pi\) 弧度。

弧度制的一个优势是在计算圆弧的长度时，只需要使用半径乘以圆弧所对的圆心角即可。如图 4 所示，弧长 \(s\) ，其所对的圆心角 \(\theta\) 和半径 \(r\) 的关系如下：\[s=r\cdot\theta\]

在弧度制下，\(1\) 弧度的圆心角所对圆弧的长度恰为圆的半径 \(r\) ，如图 5 所示。

\(1\) 弧度的角

示例： 在半径为 \(4\mathrm{cm}\) 的圆上，长度为 \(10\mathrm{cm}\) 的一段圆弧，对应的圆心角是多少弧度？

☐

示例： 根据要求，在角度制和弧度制之间进行转换：

• [(1)] 将 \(75^\circ\) 转换为弧度制，分别给出用 \(\pi\) 表示的精确结果和保留三位有效数字的结果。
• [(2)] 将 \(5\) 弧度转换为角度制，分别给出用 \(\pi\) 表示的精确结果和保留四位有效数字的结果。
• [(3)] 将 \(41^\circ12'\) 转换为弧度制，保留小数点后两位数字。

三角函数的单位圆定义

单位圆与三角函数

通过任意角的三角函数和弧度制的定义，我们在全实数轴上定义了“角度”这一概念。

两角和与差的三角函数

示例： 将单位向量 \(\mathbf{p}=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\) 逆时针旋转 \(\alpha\) 角后的向量为 \(\mathbf{p'}=\begin{bmatrix} \cos\alpha\\\sin\alpha \end{bmatrix}\) 。计算将 \(\mathbf{p'}\) 再逆时针旋转 \(\beta\) 角后的向量 \(\mathbf{p''}\) 。

解： \(\mathbf{p'}=\cos\alpha\cdot\mathbf{e_x}+\sin\alpha\cdot\mathbf{e_y}\) ，将 \(\mathbf{e_x}\) 轴和 \(\mathbf{e_y}\) 逆时针旋转 \(\beta\) 角后，用同样的线性组合系数产生 \(p''\) ：

\(\mathbf{p''}=\cos\alpha\cdot\mathbf{e'_x}+\sin\alpha\cdot\mathbf{e'_y}=\cos\alpha\begin{bmatrix} \cos\beta\\\sin\beta \end{bmatrix}+\sin\alpha\begin{bmatrix} -\sin\beta\\\cos\beta \end{bmatrix}\)

☐

示例： 将单位向量 \(\mathbf{p}=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\) 逆时针旋转 \(\alpha\) 角后的向量为 \(\mathbf{e'_x}=\begin{bmatrix} \cos\alpha\\\sin\alpha \end{bmatrix}\) 。计算将 \(\mathbf{p'}\) 再顺时针旋转 \(\beta\) 角后的向量 \(\mathbf{p''}\) 。

综上所述，可以得到如下结论：

示例： 将 \(\tan(\alpha+\beta)\) 写成 \(\tan\alpha\) 和 \(\tan\beta\) 的函数。

解： \(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\)

将分子分母同时除以 \(\cos\alpha\cos\beta\) 得到：

☐

示例： 将 \(\tan(\alpha-\beta)\) 写成 \(\tan\alpha\) 和 \(\tan\beta\) 的函数。

进一步由 \(\tan\beta=\cot^{-1}\beta\)，可以得到如下结论：

在上述公式中，令 \(\alpha=\beta\) 即可得到常用的二倍角公式：

再利用 \(3\alpha=2\alpha+\alpha\) 三倍角公式：

示例： 计算 \(\sin\dfrac{\pi}{12}\) 。

解： \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right)\)

根据两角差的正弦公式：

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)

☐

示例： 计算 \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) 。

示例： 计算 \(\sin\dfrac{\pi}{12}+\cos\dfrac{\pi}{12}\) 。

解： 当然可以将前述题目的结果代入，此处展示另一种做法：

\(\left(\sin\dfrac{\pi}{12}+\cos\dfrac{\pi}{12}\right)^2=\sin^2\dfrac{\pi}{12}+\cos^2\dfrac{\pi}{12}+2\sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}\)

注意到：\(\sin\dfrac{\pi}{12}+\cos\dfrac{\pi}{12}>0\)

☐

示例： 使用两角和的三角函数公式，计算 \(\sin\dfrac{5\pi}{12}\) 和 \(\cos\dfrac{5\pi}{12}\) 。

（你计算的结果应该分别等于 \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) 和 \(\sin\dfrac{\pi}{12}\)）

使用前述倍角公式，可以得到以下正弦和余弦半角公式：¹

示例： 已知 \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) ，计算 \(\sin\dfrac{\pi}{24}\) 和 \(\sin\dfrac{\pi}{24}\) 。

示例： 求值：\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\)

解： \(\because\) \(\sqrt{2}=2\cos\dfrac{\pi}{4}\)

\(\therefore\) \(\sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2(1+\cos\dfrac{\pi}{4})}=\sqrt{4\cos^2\dfrac{\pi}{8}}=2\cos\dfrac{\pi}{8}\)

\(\therefore\) \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\sqrt{2(1+\cos\dfrac{\pi}{8})}=\sqrt{4\cos^2\dfrac{\pi}{16}}=2\cos\dfrac{\pi}{16}\)

☐

积化和差与和差化积公式

升幂公式

升幂公式是二倍角公式的变形，你需要“认得”这些变形。

三角形中的重要定理与常见恒等式

示例： 将 \(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta\) 化为单一角三角函数。

解： 注意到 \(1^2+\sqrt{3}^2=2^2\) ，于是有：

\(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\theta+\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\theta\right)\)

☐

示例： 求 \(3\sin\theta-4\cos\theta\) 的最大值和最小值。

解： 注意到 \(3^2+4^2=5^2\) ，于是有：

\(3\sin\theta-4\cos\theta=5\left(\dfrac{3}{5}\sin\theta-\dfrac{4}{5}\cos\theta\right)=5\left(\cos\phi\sin\theta-\sin\phi\cos\theta\right)\)

其中，\(\phi\) 是边长为 \(3,4,5\) 的直角三角形较大的锐角

\(3\sin\theta-4\cos\theta=5\sin\left(\theta-\phi\right)\)

☐

示例： 求函数 \(f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\) 的最大值和最小值。

解： 注意到 \(x\in[-1,1]\) ，令 \(x=\sin\theta,\ \theta\in[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\) ，于是有：

\(f(x)=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

☐

另解 （判别式法）令 \(a=x+\sqrt{1-x^2}\)

示例： 解方程 \(\sqrt{1-x^2}+x=\sqrt{2}\)

示例： 求 \(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\) 的值域。

解： 令 \(t=\sqrt{x-1},\ t\in[0,2]\) 有：

\(f(x)=t+\sqrt{4-t^2},\ t\in[0,2]\)

至此问题转换为前述示例的类似形式。请补充后续步骤：

解： 注意到 \(\left(\sqrt{x-1}\right)^2+\left(\sqrt{5-x}\right)^2=4\) ， \(\sqrt{x-1}\ge0,\ \sqrt{5-x}\ge0\)

令 \(\sqrt{x-1}=2\sin\theta,\ \sqrt{5-x}=2\cos\theta,\ \theta\in[0,\dfrac{\pi}{2}]\)

于是有 \(f(x)=2\sin\theta+2\cos\theta=2\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\(\theta+\dfrac{\pi}{4}\in[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{2}]\) ，进一步 \(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\in[\dfrac{\sqrt{2}}{2},1]\)

☐

点评 本题是一类常见问题 \(x^2+y^2=k\) 求 \(x+y\) 的最值或值域。这类问题除了使用三角换元法外，还可以使用判别式法、解析几何法，这类问题还牵涉到均值不等式。请看接下来的示例。

示例： 已知 \(x^2+y^2=1\) ，求 \(x+y\) 的最值。

解： 令 \(x=\cos\theta,\ y=\sin\theta,\ \theta\in[0,2\pi)\)

\(x+y=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

☐

点评 这其实是圆的参数方程，联系如下图像：

圆形角 \(\theta\) 所对的圆弧 \(s\)

示例： 已知满足条件 \(x^2-2x+y^2=0\) 的任意实数 \(x,y\) 均能使不等式 \(x+y+k\ge0\) 恒成立，试求 \(k\) 的取值范围。

示例： 若实数 \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\) ，求 \(x^2+y^2\) 的值。

按语 这是笔者在撰写本讲义时在 B 站也被推送到这道题目，以下是 UP 主的解答，是初中的基本方法。

B站 UID414383438

除去这种“整体法换元去根号”的方法之外，本题使用三角函数换元更为便捷。另外还可以用向量内积或柯西-施瓦茨不等式进行解答。

示例：² 已知实数 \(a,b\) 满足 \(a^2-ab+b^2=1\) ，求 \(f(a,b)=a^2+b^2\) 的值域。

解： [分析] 有些学生注意到已知可化成 \(\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2=1\)

于是设 \[\begin{equation*} \begin{cases} a-\dfrac{b}{2}=\cos\theta\\ \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}b=\sin\theta \end{cases} \end{equation*}\]

即 \[\begin{equation*} \begin{cases} a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta+\cos\theta\\ \\ b=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta \end{cases} \end{equation*}\]

代入 \(f(a,b)=a^2+b^2\) 得到：

\(f(a,b)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta+\cos\theta\right)^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta\right)^2\)

然后进一步化简求解。但这样的做法比较麻烦。

若逆向考虑，设 \(a^2+b^2=R^2\ (R>0)\)

并设 \(a=R\cos\theta,\ b=R\sin\theta\) 代入已知等式得到：\[\sin2\theta=2-\dfrac{2}{R^2}\]

形式就简化很多。

示例：³ （第三届“希望杯”数学邀请赛试题）已知 \(\alpha,\beta\) 均为锐角，且 \(\dfrac{\cos^4\alpha}{\sin^2\beta}+\dfrac{\sin^4\alpha}{\cos^2\beta}=1\) ，求证：\(\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}\)

示例：⁴ （1989年北京市奥林匹克学校高中入学试题）设实数 \(a,b,c,d\) 满足条件 \(a^2+b^2=c^2+d^2=1,\ ac+bd=0\) ，求 \(a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\) 的值。

示例：⁵ 求 \(f(x)=2\sqrt{x^2+1}+x\) 的值域。

解法一 \(f(x)\) 的定义域为 \((-\infty,+ \infty)\) ，并且 \(f(x)\) 含 \(\sqrt{x^2+1}\) 项。

于是令 \(x=\tan\theta,\ \theta\in(-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2})\)

发现 \(f(x)\) 为点 \((\cos\theta,\sin\theta)\) 到 \((0,-2)\) 连线的斜率。

☐

斜率

解法二 设 \(a=2\sqrt{x^2+1}+x\)

\(a-x=2\sqrt{x^2+1}\) 两边平方得：

\((a-x)^2=4(x^2+1)\) 其中 \(x\leq a\) 。整理得：

\(3x^2+2ax+4-a^2=0, \ x\leq a\)

\[\begin{equation*} \begin{cases} \Delta=16a^2-48\geq0\\ \\ \dfrac{-2a-\sqrt{16a^2-48}}{6}\leq a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\leq-\sqrt{3}\ or\ a\geq\sqrt{3}\\ \\ a\geq0 \end{cases} \Leftrightarrow a\geq\sqrt{3} \end{equation*}\]

☐

示例：⁶ 求方程 \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy\) 的所有实数解。

解： 由原方程可知 \(x\leq1,\ y\leq1\)

设 \(x=\sec^2\theta,\ y=\sec^2\phi\) ，其中 \(\theta,\phi\in[0,\dfrac{\pi}{2})\)

原方程化为 \(\sec^2\theta\sqrt{\sec^2\phi-1}+\sec^2\phi\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sec^2\theta\sec^2\phi\)

化简即得 \(\sin\phi\cos\phi+\sin\theta\cos\theta=1\)

即 \(\sin2\phi+\sin2\theta=2\)

上式仅当 \(\sin2\phi=\sin2\theta=1\) 成立。

☐

示例：⁹ 求函数 \(f(x)=\dfrac{x-x^3}{1+2x^2+x^4}\) 的值域

基础练习：任意角的三角函数

练习：¹⁰ 将以下角度转换为三位小数的十进制度 (DD) 格式。

1. \(5^\circ51'33"\) (2) \(14^\circ18'37\)

2. \(354^\circ8'29"\) (4) \(184^\circ31'7"\)

练习：¹¹ 将以下角度转换为“度-秒-分” (DMS) 格式。

1. \(3.042^\circ\) (2) \(49.715^\circ\)

2. \(403.223^\circ\) (4) \(156.808^\circ\)

练习：¹² 在下面的 \(\square\) 里，填上适当的正负号或角度。

1. \(\sin(-390^\circ)=\square\sin390^\circ=\square\sin(30^\circ+360^\circ)=\square\sin\square\)

2. \(\cos(-750^\circ)=\square\cos750^\circ=\square\cos(30^\circ+360^\circ\times2)=\square\cos\square\)

3. \(\tan(-1100^\circ)=\dfrac{\sin(-1100^\circ)}{\cos(-1100^\circ)}=\dfrac{\square\sin(20^\circ+360^\circ\times3)}{\square\cos(20^\circ+360^\circ\times3)}=\square\dfrac{\sin\square}{\cos\square}=\square\tan\square\)

练习：¹³ 下列各角是第几象限角？

1. \(2000^\circ\)(2) \(-4000^\circ\)

练习：¹⁴ 下列各角是第几象限角？

1. \(370^\circ\)(2) \(420^\circ\)(3) \(\dfrac{7}{3}\pi\)(4) \(-40^\circ\)

2. \(-100^\circ\)(6) \(-365^\circ\)(7) \(-750^\circ\)(8) \(-\dfrac{5}{2}\pi\)

练习：¹⁵ 下列各角是第几象限角？

1. \(290^\circ\)(2) \(160^\circ\)(3) \(255^\circ\)(4) \(-110^\circ\)

2. \(570^\circ\)(6) \(-420^\circ\)(7) \(-660^\circ\)(8) \(1120^\circ\)

练习：¹⁶ 求下列各式的值：

1. \(\cos570^\circ\sin150^\circ+\sin(-330^\circ)\cos(-390^\circ)\)

2. \(\cos420^\circ\tan60^\circ\sec45^\circ+\sin45^\circ\cot30^\circ\csc450^\circ\)

练习：¹⁷ 求下列各式的值：

1. \(\cot10^\circ+\tan190^\circ+\tan100^\circ+\tan350^\circ\)

2. \(\sin1590^\circ\cos(-1860^\circ)+\tan1395^\circ\cot(-960^\circ)\)

练习：¹⁸ 将下列函数表示为 \(x\) 的三角函数：

1. \(\cos(-x)\)(2) \(\sin(x-\dfrac{\pi}{2})\)(3) \(\cos(\dfrac{\pi}{2}+x)\)

2. \(\tan(\pi-x)\)(5) \(\sin(\pi+x)\)

练习：¹⁹ 将 \(A-90^\circ\) 和 \(A-180^\circ\) 的各三角函数表示为 \(A\) 的三角函数。

练习：²⁰ 当 \(\theta\) 是第四象限的角， \(\cos\theta=\dfrac{12}{13}\) 时， \(\sin\theta\) 和 \(\tan\theta\) 的值各是多少？

练习：²¹ 若 \(\theta\) 是第三象限的角， \(2\sin\theta=\cos\theta\) ，求 \(\sin\theta\) 、 \(\cos\theta\) 和 \(\tan\theta\) 的值。

练习：²² 比较任意角 \(A\) 和 \(-A\) 的正弦、余弦和正切的三角函数值。即判断正弦、余弦和正切函数的奇偶性。

练习：²³ 将 \(\sin(90^\circ+\theta)\) 、 \(\cos(\theta-90^\circ)\) 、 \(\tan(180^\circ-\theta)\) 写成 \(\theta\) 的三角函数。

练习：²⁴ 证明下面两个式子成立：

1. \(\sin(180^\circ+\theta)+\cos(90^\circ-\theta)=0\)

2. \(\cos(270^\circ-\theta)-\cos(\theta+90^\circ)=0\)

练习：²⁵ 将以下各三角函数值按大小次序排列：

\(\sin870^\circ,\ \cos(-450^\circ),\ \tan1310^\circ,\ \sin(-2095^\circ),\ \cos1900^\circ\)

练习：²⁶ 若 \(\sin B=\sin A\) 且 \(\cos A=\cos B\) ，证明 \(A,B\) 是终边相同的角，即 \(A-B\) 是 \(0^\circ\) 或 \(360^\circ\) 的倍数。

练习：²⁷ 若 \(\theta\) 是锐角， \(\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{1}{2}\) ，求下列各式的值。

1. \(\sin\theta\cos\theta\)(2) \(\sin\theta+\cos\theta\)(3) \(\sin^3\theta-\cos^3\theta\)

练习：²⁸ 化简下面的算式：

\(\dfrac{\sin(\pi+\theta)\tan^2(\pi-\theta)}{\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi+\theta\right)}-\dfrac{\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi-\theta\right)\csc^2\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)}\)

练习：²⁹ \(0^\circ<\theta<360^\circ\)，

1. 适合 \(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\) 的 \(\theta\) 值是多少？

2. 适合 \(\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 的 \(\theta\) 角在第几象限？

练习：³⁰ 求下列两式的值：

1. \(\tan\dfrac{5\pi}{6}\cos\dfrac{3\pi}{4}+\tan\dfrac{2\pi}{3}\cot\dfrac{21\pi}{4}\)

2. \(\cot\dfrac{\pi}{3}\tan\dfrac{5\pi}{6}+\sin\dfrac{31\pi}{4}\cos\dfrac{13\pi}{3}\)

练习：³¹ 当 \(\cos(-100^\circ)=k\) 时，用 \(k\) 表示 \(\tan80^\circ\)

练习：³² 化简下列两式：

1. \(\tan(180^\circ+\theta)\sin(90^\circ+\theta)+\dfrac{\cos(180^\circ-\theta)}{\tan(180^\circ-\theta)}\)

2. \(\dfrac{\sin(180^\circ+\theta)\tan^2(180^\circ-\theta)}{\cos(270^\circ+\theta)}-\dfrac{\sin(270^\circ-\theta)}{\sin(90^\circ+\theta)\cos^2\theta}\)

练习：³³ 用 \(\cos\theta\) 表示 \(1+\tan^4\theta\)

练习：³⁴ 若 \(\tan\theta=-\dfrac{4}{3}\) ，求 \(\dfrac{5\sin\theta+8}{15\cos\theta-7}\)

练习：³⁵ 用 \(\tan A\) 表示 \(\sin^6A+\cos^6A\)

练习：³⁶ 如果将三角形 \(ABC\) 的三个内角用 \(A\)、\(B\)、\(C\) 表示，则 \(A+B+C=180^\circ\) 。以此说明下列各等式成立：

1. \(\sin(B+C)=\sin A\)

2. \(\tan(B+C)=-\tan A\)

3. \(\sin\dfrac{B+C}{2}=\cos\dfrac{A}{2}\)

4. \(\cos\dfrac{B+C}{2}=\sin\dfrac{A}{2}\)

5. \(\sin A=-\sin(2A+B+C)\)

练习：³⁷ 求下列函数的周期、最大值和最小值：

1. \(\tan2x\)(2) \(\sin^2 x\)(3) \(|\sin x|\)

2. \(\cos3x\)(5) \(\dfrac{1}{1+\sin2x}\)(6) \(\dfrac{1}{1+\tan^2x}\)

练习：³⁸ 求 \(\cos570^\circ\sin510^\circ-\sin330^\circ\cos390^\circ\) 的值。

练习：³⁹ 把下列各三角函数化成小于 \(45^\circ\) （或 \(\dfrac{\pi}{4}\) ）的正角的三角函数。

1. \(\sin740^\circ\)(2) \(\cos(-300^\circ)\)(3) \(\cot\left(-\dfrac{1}{3}\pi\right)\)

2. \(\csc1120^\circ\)(5) \(\csc(-60^\circ)\)

练习：⁴⁰ 求 \(0^\circ\) 至 \(900^\circ\) 间所有适合 \(\tan\theta=1\) 的角 \(\theta\) 。

练习：⁴¹ 求 \(0^\circ\) 至 \(900^\circ\) 间所有适合 \(\cos^2\theta=\dfrac{1}{2}\) 的角 \(\theta\) 。

基础练习：三角函数的图像

练习：⁴² 画 \(y=\sin\theta\) 和 \(y=\cos\theta\) 的图像。

练习：⁴³ 画 \(y=\tan\theta\) 和 \(y=\cot\theta\) 的图像。

练习：⁴⁴ 画 \(y=\sec\theta\) 和 \(y=\csc\theta\) 的图像。

练习：⁴⁵ 当 \(a,b\) 都是非 \(0\) 实数时，证明下列两个函数的图像可以经平移后重合： \[y=a\sin x+b\cos x\qquad\textcircled{1}\] \[y=a\sin x-b\cos x\qquad\textcircled{1}\]

练习：⁴⁶ 图 10 是 \(y=R\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}x+\theta\right)-1\) 的图像的一部分，求 \(R\) 、 \(\theta\) 和 \(a\) 的值。（其中 \(R\) 是正数，角用弧度制表示）

练习：⁴⁷ 把 \(y=\sin x\) 的图像：

1. 向上平移 \(5\) 个单位，方程有何变化？

2. 向左平移 \(90^\circ\) ，方程如何变化？

3. 化简 (2) 中所得到的方程。

练习：⁴⁸ 画出函数 \(y=\ln(1+\sin x),\ -360^\circ\leq x\leq360^\circ\) 图像的大体形状。

练习：⁴⁹ 画出下列函数的图像：

1. \(y=|\cos x|\)

2. \(y=|\cos x|+\cos x\)

3. \(y=|\cos x|=\cos x\)

练习：⁵⁰ 画出下列函数的图像：

1. \(y=\sin|x|\)

2. \(y=\sin|x|+\sin x\)

练习：⁵¹ 函数 \(y=\dfrac{1}{2}\cos(3x-120^\circ)+1\) 的周期、初始相位、零点和极值点都是什么？并绘制其图像。

练习：⁵² 函数 \(y=\sin^2 x\) 的周期是什么，绘制其图像。

练习：⁵⁴ 当 \(\theta\) 从 \(0\) 到 \(2\pi\) 变化时， \(\cos\theta-\sin\theta\) 的符号和值如何变化？

练习：⁵⁵ 求 \(\sin\left[\dfrac{n\pi}{2}+(-1)^n\dfrac{\pi}{6}\right]\) 所有可能的值，其中 \(n\) 为 \(0\) 或任意正整数。

练习：⁵⁶ 假设图 11 中的波形曲线用 \(y=a+b\cos\theta+c\cos2\theta\) 表示。试从图中读取一些适当的数据，从而确定 \(a,b,c\) 的值。

练习：⁵⁷ 分析函数 \(y=\sin x+\dfrac{1}{2}\sin2x\) 的零点、单调区间、极值点、凹凸性，并绘制函数图像。

练习：⁵⁸ 画出下列函数的图像：

1. \(y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

2. \(y=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\)

3. \(y=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)

基础练习：两角和与差的三角函数

练习：⁶⁰ 求 \(\sin^6\theta+\cos^6\theta\) 的最大值和最小值。并求取到最值时 \(\theta\) 的值。

练习：⁶¹ \(A\) 为锐角，当 \(\sin A=\dfrac{3}{5}\) 时，求 \(\tan\dfrac{A}{2}\) 的值。

练习：⁶² \(180^\circ<A<360^\circ\) ，\(\cos A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) ，求 \(\sin\dfrac{A}{2}\) 的值。

练习：⁶³ \(180^\circ<A<540^\circ\) ， \(\cos A=-\dfrac{1}{2}\) ，求 \(\cos\dfrac{A}{2}\) 的值。

练习：⁶⁴ \(\tan A=\dfrac{1}{2},\ \tan B=\dfrac{1}{3}\) 时，求 \(\sin(A-B)\) 的值。

练习：⁶⁵ 已知 \(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\) ，求 \(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) 的值。

练习：⁶⁶ 已知 \(\cos A=\dfrac{4}{5},\ \cos B=\dfrac{3}{5}\) ，求 \(\sin(A+B)\) 和 \(\cos(A-B)\)

练习：⁶⁷ 当 \(\theta\) 从 \(0^\circ\) 变到 \(360^\circ\) 时，研究 \(\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\) 的单调性。

练习：⁶⁸ 证明 \(\dfrac{1-\cos2A}{1+\cos2A}=\tan^2A\)

练习：⁶⁹ 证明 \(\dfrac{1+\cos A}{\sin A}=\cot\dfrac{1}{2}A\)

练习：⁷⁰ 证明 \(\dfrac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{\cos(A-B)-\cos(A+B)}=\cot A\cot B\)

练习：⁷¹ 证明 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\cos A+\sin A)=\sin(\dfrac{\pi}{4}+A)=\sin(\dfrac{3\pi}{4}-A)\)

练习：⁷² 若 \(\sin A=\sin B,\ \cos A=\cos B\) ，证明 \(A,B\) 是终边相同的角。

练习：⁷³ \(A,B\) 均为锐角， \(\sin A=\dfrac{13}{14},\ \sin B=\dfrac{11}{14}\) ，求 \(\sin(A+B)\) ，并指出 \(A+B\) 的具体角度。

练习：⁷⁴ \(A,B\) 是锐角， \(3\sin^2A+2\sin^2B=1,\ 3\sin2A-2\sin2B=0\) ，证明这时 \(A+2B=90^\circ\) 。

练习：⁷⁵ 证明：\(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)

练习：⁷⁶ \(\theta=18^\circ\) ，证明：\(\sin2\theta=\cos3\theta\) ，并由此求出 \(\sin18^\circ\) 的值。

练习：⁷⁷ 证明：\(\cos20^\circ+\cos100^\circ+\cos140^\circ=0\)

练习：⁷⁸ 若 \(\tan A=\dfrac{1}{2},\ \tan B=\dfrac{1}{3}\) ，求 \(\tan(A+B)\) 的值。

练习：⁷⁹ 若 \(\tan\alpha=\dfrac{m}{m+1},\ \tan\beta=\dfrac{1}{2m+1}\) ，证明 \(\tan(\alpha+\beta)=1\) 。

练习：⁸⁰ 若方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的两个根是 \(\tan A,\ \tan B\) ，求 \(\tan(A+B)\) 的值。

练习：⁸¹ 若 \(\alpha+\beta=45^\circ\) ，证明：\((1+\tan\alpha)(1+\tan\beta)=2\)

基础练习：解三角函数方程

练习：⁸² 解方程 \(\sin6x-2\sin4x+\sin2x=0\)

练习：⁸³ 解方程 \(\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x\)

练习：⁸⁴ 解方程 \(\cos x\cos3x=\cos5x\cos7x\)

练习：⁸⁵ 解方程 \(\tan x+\tan3x=2\tan2x\)

练习：⁸⁶ \(0\leq x\leq\pi\) ，解方程 \(\sin x+\sin2x+\sin3x=0\)

练习：⁸⁷ 解方程 \(a\sin x+b\cos x=c\) ，其中 \(ab\neq0\)

练习：⁸⁸ 确定能使 \(\sin^2 x+\cos x+a=0\) 有解的 \(a\) 的范围。设 \(a=1\) ，解这个方程。

基础练习：三角函数换元法

练习：⁹⁰ 若 \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\) ，求 \(x+y\) 的取值范围。

练习：⁹⁸ 求函数 \(f(x)=2\sqrt{x+1}+\sqrt{6-x}\) 的值域。