三角形的面积
导言
三角形的面积公式是小学阶段几何的核心，在中学的几何体系中也非常重要。在很多棘手的问题上，如果能够灵活地运用三角形面积的性质，往往可以收到奇效。
可以想象人类最初一定是直观地认识了正方形、长方形、平行四边形、三角形以及梯形等简单图形的面积。在小学三年级至五年级的课本上，我们也用类似的方法认识了图形的面积。
人类从观察中提炼出各种各样的知识之后，下一步就是把这些知识以某种形式组织起来。数学家从观察到的性质中精心挑选了一组基础的命题，再运用基本的逻辑原则，逐步推导出所有的性质。随着数学的进一步发展，这些“基础的命题”不一定是从观察中得到，某些尚未被观察或证实的“假设”也可以作为逻辑推理的基石。
从尽可能少的定义和不加证明的命题（公理）出发，通过演绎推理，得到整个理论体系，这就是“公理化方法”。这是一种组织已有知识的方法。在公理化体系中，有些命题比较基本，另一些命题由之推导而出。在《几何原本》中，“全等三角形”是相当基本的命题，平行四边形的性质是用全等三角形证明的。有了平行四边形的各种性质之后，三角形的面积定理才被证明出来。
三角形面积公式
三角形面积定理是小学数学中的核心定理。许多定理和题目都是以三角形的面积公式为出发点进行推导和求解。三角形的面积是由平行四边形面积的一半得到的。我们先证明以下性质：
三角形和平行四边形的面积关系
定理： 如果平行四边形和三角形既同底又在相同的平行线之间，那么平行四边形的面积是三角形的两倍。 (Euclid I.41)
三角形面积公式
从顶点向底边所在直线引垂线段，这条线段称为三角形该底边上的的高 ，如图 3 所示。三角形的面积 \(S\) 的基本公式如下，其中 \(b\) 是底边的长度，\(h\) 是底边上高的长度。\[S=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot h\] 即：三角形的面积等于底乘高除以二。
示例： 做出以下每个三角形三条底边上的高。
示例： 图 5 所示的大长方形面积为 \(100cm^2\) 。阴影部分的面积是多少？
ina.c 解： 如图标注各线段长度。则长方形的面积是 \(b\cdot h\) 。阴影部分的一堆三角形的面积是： \[\dfrac{1}{2}b_1\cdot h+...+\dfrac{1}{2}b_4\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot(b_1+b_2+b_3+b_4)\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot h\]
☐
示例： 如图 7 所示，一个三角形的底边长 \(14cm\) ，剪掉 \(15cm^2\) ，即图中所示阴影部分，剩下的三角形面积有多大？
示例： 如图 8 所示，梯形的面积是 \(116cm^2\)，上底是 \(12cm\) ，下底是 \(17cm\) ，求阴影部分的面积。
示例： 如图 9 所示，平行四边形 \(ABCD\) 的面积是 \(360cm^2\) ， \(AE-12cm\) ， \(CD=20cm\) ， \(DE\) 垂直于 \(AB\) 。求梯形 \(ACDE\) 的面积。
三角形的等积变换
示例： 如图10所示的四个三角形具有相同的面积。
在计算三角形的面积时，任何一条边都可以作为底，所对顶点的“平移”不改变三角形的面积。在图 11 中，\(A,A',A'',...\) 所在的直线和 \(BC\) 平行。平行线间距离处处相等，所以当三角形的顶点在直线 \(AA'\) 上移动时，三角形的面积保持不变。
思考与讨论
- 你能够通过割补拼接的方法证明图10的四个三角形的面积相等么？
- 考察图10的四个三角形在等高处截水平线的长度。你能用观察到的现象说明这几个三角形面积相等么？
- 用节的Pick定理求图10中三角形的面积，是否能够得到相同的结论？
- 讨论一下，上述三种计算面积的方法，哪种可以作为三角形面积公式的。
示例： 如图12所示的四个三角形具有相同的面积。
面积比转换为线段比
由三角形面积公式，上述结论是显然的。这几乎构成了小学阶段所有几何难题的解题基础（小学阶段的“难题”还有一个解题基础是勾股定理）。在小学阶段，这常用来解决初中阶段基于三角形面积公式\(S=ab\sin{\theta}\)的问题或者基于相似三角形的问题。通过一系列三角形的面积关系，绕来绕去可以得到初中阶段“直接”得出的结论
思考与讨论
- 让三角形的某个顶点沿所在边的直线运动，如图 14 所示，三角形面积如何变化？
- 让三角形的某个顶点沿任意直线运动，三角形的面积如何变化？
- 如何由三角形面积推导梯形（图15左）的面积公式？
- 梯形被对角线划分后，四部分的面积关系如何（图15右）？
- 讨论任意四边形对角线分割的四部分的面积关系。
Pick定理（选学）
Pick定理是最简单直观的数学定理之一。其陈述如下：在正方形格点阵列中，一个小格点方块面积为1。顶点在格点上的多边形满足如下关系：\[S=a+\frac{b}{2}-1\]其中 a 表示多边形的内部节点数目，b表示边界上的格点数目，S表示多边形的面积。
示例： 以图19为例，图中多边形有 \(7\) 个内部格点，有 \(8\) 个边界格点。该多边形的面积为：\[S=7+\dfrac{8}{2}-1=10\]☐
思考与讨论
- 直接计算19的多边形面积；
- 指出在计算中使用了哪些基本原理；（应该使用尽可能少的原理。甚至三角形面积公式在本阶段也不要使用。）
- 举一些例子，验证Pick定理。应当如何设计这些例子？
- 你能想出什么思路来证明Pick定理？
- 讨论检验和证明的关系。
随堂练习
练习： 如图 20 所示，七巧板拼成的正方形边长为 \(8cm\) ，请问七巧板的各个拼板的面积是多少？
练习： 如图 21 所示，七巧板拼成的正方形中阴影的面积为 \(8cm^2\) ，请问大正方形的面积是多少？
练习： 画出图 22 中各图形（给定底上）的高。
练习： 如图 23 所示， \(\triangle{ABC}\) 中 \(\triangle{ACD}\) 的面积是 \(18cm^2\) ，求阴影部分的面积。
练习： 分别使用面积公式（底\(x\)高）和数格子的方法计算图 24 中图形的面积。（每个小格子的面积为 \(1\)）
练习： 如图 25 所示，求平行四边形 \(ABCD\) 的周长。（单位：cm ）
练习： 如图 26 的两个正方形中，分别做两条直线（其中一条过点 \(A\) ），将正方形分成形状和面积都相等的四部分。
练习： 将一个长方形框架（如图 27 ）压扁成平行四边形，保持边长不变。压出来平行四边形有一个内角是 \(60^\circ\) 。用直尺和圆规绘制压扁后的平行四边形。
练习： 在图 28 中的各图形中，过边上给定一点做直线，平分图形面积。（注意，左下方的平行四边形和梯形边上的点位置是任取的。另外你是可以仅仅使用直尺和圆规达到题目要求的。如果图太小你无法施展圆规，可以另外画一个大图。）
练习： 如图 29 所示，平行四边形 \(ABCD\) 的面积是 \(48cm^2\) 。 \(E\)、\(F\) 分别是上、下两边的中点，求平行四边形 \(AECF\) 的面积。（注意：这里直接告诉你 \(AECF\) 是平行四边形了，你能够根据中点条件证明 \(AECF\) 平行四边形么？）
练习： 如图 30 所示，梯形 \(ABCD\) 的面积是 \(48cm^2\) 。 \(E\)、\(F\) 分别是上、下两边的中点，求四边形 \(AECF\) 的面积。
练习： 如图 31 所示，已知平行四边形 \(ABCD\) 的周长是 \(22.4cm\) 。求 \(AB\) 的长。
练习： 如图 32 所示，求图中阴影部分的面积。
练习： 如图 33 所示，大正方形和小正方形的边长分别是 \(9dm\) 和 \(6dm\) ，求图中阴影部分的面积。
练习： 如图 34 所示，已知阴影部分的面积是 \(108cm^2\) ，求梯形 \(ABCD\) 的面积。
练习： 计算如图 35 所示的梯形面积。
练习： 计算如图 36 所示的梯形面积。
练习： 如图 37 所示，\(\triangle{ABC}\cong\triangle{EFD}\) ， \(AC=4\) ， \(CD=2\) ， \(BD=6\) ，\(DG=3\)，求阴影部分的面积。
练习： 如图 38 所示，\(\triangle{ABC}\cong\triangle{EFD}\) ， \(AC=4\) ， \(CD=2\) ， \(BD=6\) ，求线段 \(DG\) 的长度。（这道题目的设置是为了向你说明，上一道题中 \(DG=3\) 的条件是多余的）
练习： 如图 39 所示， \(\triangle{ABC}\) 是直角三角形， \(BF=10cm\)，\(FC=8cm\) ，\(AEFD\) 是正方形。求阴影部分的面积。
Pick定理习题
练习： 如图 40 所示， 分别使用面积公式和 Pick 定理计算各多边形的面积。
练习： 如图 41 所示， 分别使用面积公式和 Pick 定理计算各多边形的面积。
练习： 如图 42 所示， 分别使用面积公式和 Pick 定理计算各多边形的面积。
基础习题
练习： 如下图所示，根据给出的条件，计算用问号标记的高或底的长度。
练习： 如下图所示，根据给出的条件，计算用问号标记的高或底的长度。
练习： 如下图所示，是两个相同的平行四边形。先根据左图计算平行四边形的面积，再根据右图计算所示高的长度。
练习： 如下图所示，阴影部分三角形的面积是 \(216cm^2\) 。首先计算高 \(h\) ，再计算梯形的面积。
