对称、变换和面积
“几何学 (Geometry) 是数学的一个基础分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域关系以及空间形式的度量。许多文明都发展出一些几何学，包括许多有关长度、面积和体积的知识。在公元前六世纪，西方世界开始将几何学视为数学的一部分。公元前三世纪产生了欧几里得几何学，这成为之后几个世纪的几何学标准。”1
对称和变换
“对称” (symmetry) 是日常生活中的一种常见现象。例如，我们的人体是左右对称的，北京旧皇城的布局是左右对称的，故宫和普通四合院等房屋建筑也是左右对称的。
对称是宇宙间最普遍、最重要的特性之一，近代科学表明几乎自然界的重要规律都与对称有关。远至天体形状、运行轨道；近如人类的胚胎发育等问题无一不与对称有关联。数学是人类从日常生活实践中抽象出来，并加以精炼和提高而形成的学科。对称现象也被提高凝练成了数学的一个分支。
轴对称和旋转对称
对称性的定义
- 将一个几何图形经过某种变换后，该图形依然占据相同的空间位置，我们就称这个图形具有某种对称性。
- 如果图形沿一直线翻转后仍然占据相同的空间位置，则称其是轴对称图形，该直线称为对称轴。
- 如果图形绕一点旋转一定角度后仍然占据相同的空间位置，则称其为旋转对称图形，该点称为旋转对称中心。
- 如果图形绕一点旋转 \(180^\circ\) 后占据相同的空间位置，则称为其为中心对称图形，该点称为对称中心。
♣请注意：我们这里给出的是“对称”在初等几何中的狭义定义。一般地，事物在某种变换下具有的不变性质就是对称性。对称性不仅仅是几何中的概念，在整个数学知识体系中处处都有对称性的体现。
思考与讨论
- 课本上有时也说“两个图形关于直线对称”、“两个图形中心对称”（如图 2 所示）。那是什么意思？
- 你能利用前述关于对称性的定义给出“两个图形轴/中心对称”的定义么？
- 你能绕开前述关于对称性的定义给出“两个图形轴/中心对称”的定义么？
示例： 分析长方形的对称性。
长方形是轴对称图形，有两条对称轴，如图 3 （左）所示。如果我们将长方形看作实体（四个角不同，有正反面），那么一个长方形可以以四种方式占据某个同样的位置。这四种方式可以由沿两条对称轴的翻转操作的组合得到，如图 （右）所示。
长方形同样是中心对称图形，对称中心就是对角线的交点。长方形绕中心旋转 \(180^\circ\) 后仍然占据相同的空间位置，如图 4 所示。
☐
思考与讨论
- 选定长方形的一条对称轴，使用对应的翻转操作，配合旋转操作，能够得到图 3 （右）所示的四种不同状态么？
- 你能使用一种翻转操作和旋转操作，画出图 3 （右）所示的状态转换图么？
思考与讨论
- 使用类似的方法分析正方形的对称性。
- 使用类似的方法分析正三角形的对称性。
- 使用类似的方法分析正五边形的对称性。
- 你能画出一个 \(90^\circ\) 旋转对称的非轴对称图形么？
示例：2 将正方形的纸折起来，扎一个洞再打开，纸上会出现图 6 所示的四个洞。请问纸的折痕可能是 ABCDE 中的哪个？
☐
思考与讨论
- ABCE 的折纸方法，展开后洞的位置如何？请在下面空白处画出示意图。
读一读
折纸的展开图计算在实际生产中很有意义，它是钣金工艺的数学基础之一。工程师通过对一整张金属片进行连续的折弯、冲压、打孔等操作后，能够制作出各种复杂的壳体。小到铁盒，大到汽车飞机的外壳，都是钣金工艺的用武之地。
示例： 根据给定对称轴，作出轴对称图形的另一半。
作图过程 以 \(\triangle{ABC}\) 为例，
- [(1)] 分别以三角形的各个顶点做对称轴的垂线，如图 8 (1) 所示。
- [(2)] 以垂足为圆心，垂足到对应顶点的距离为半径画圆，交线段另一侧于点 \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}\) 。
- [(3)] 连接 \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}\) 。
☐
作图原理
轴对称图形的对称轴分是对应点连线的中垂线。找到关键点（对于多边形来说就是顶点），然后连线即可。
示例： 找出轴对称图形（图 9 ）的对称轴。
（请注意：你的作图工具限制在直尺和圆规）
示例： 在图 10 中，虚线两侧的袋鼠是轴对称的。如果空白的三角形都画满袋鼠，那么阴影处的三角形的袋鼠是 ABCDE 中的哪一个样式？
分析 这类题目要求你在头脑中想象图案沿对称轴翻转后的样子。你在练习中应当反复在头脑中想象翻转的过程，直至你能够轻松操作这一过程。但在临场解题过程中你可以使用多种方法来辅助思考。
解： 一个可行的方法是标记出袋鼠头部的位置，考察头部不断进行对称操作后，最终在右侧的三角形位置中处于什么位置，如图 11 所示。
☐
思考与讨论
- 如果标记袋鼠的后腿而非头部，解题过程如何？
- 如果标记袋鼠的尾巴呢？
- 如果不允许在题目上涂画，你如何解题？
示例： 根据给定的对称中心，做出中心对称图形的另一半。以 \(\triangle{ABC}\) 和对称中心 \(O\) 为例，图 13 展示了作图过程。请读者自行补充作图过程的描述。
示例： 如果方格面积为 \(1\) ，求图 14 中三角形的面积。
解： 虽然还没有学过三角形的面积公式，但我们完全有能力使用对称性来解决这个问题。如图 15 所示，这两个三角形可以由正方形和长方形沿对角线切割而来。切割出的每对三角形都是中心对称的，因此三角形的面积是对应的正方形或长方形面积的一半。
☐
思考与讨论
- 两个相同的直角三角形可以拼成矩形。你能据此给出直角三角形的面积公式么？
- 你能构造一个证明，说明为什么两个相同的直角三角形能拼成矩形么？\(\bigstar\bigstar\) （提示：这并不容易，你首先要退回到矩形的定义。）
平移和旋转
空间对称性
将整个空间平移或旋转，物理规律保持不变。
空间对称性是我们讨论一切问题的出发点，这一重要性质在在三年级下学期的数学课本上（北师大版）隐含给出。图 17 摘自教材第 28 页，你可以看到，图中的铅笔无论是竖直还是水平，无论是放在左上还是右下，都占据两个格线的长度。
示例： （乘法交换律）用底边乘以高长方形的面积。无论将长方形竖直还是水平放置，都会得到相同的结果。
示例： （乘法结合律）用底面乘以高计算立方体的体积。无论将立方体如何放置于平面，都会得到相同的结果。
思考与讨论
- 你能用几何图形说明加法交换律么？
- 你能用几何图形说明加法结合律么？
数量
数量是对客观事物的抽象表达方式。人类创造了关于数量的语言，以此来表达事物的多少。平面图形的数量是用长度、面积和角度等概念表示的。
测量单位
《孔子家语》曰：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻。”
古埃及人最初也是用身体的一部分作为测量单位。古埃及的测量单位腕尺是指从肘到中指端的距离。公元 \(9\) 世纪时，英王亨利一世以自己鼻尖到食指尖的距离作为长度单位码(yard)。\(13\) 世纪，英王约翰以自己的足长为英尺 (foot) 。公元前 \(2\) 世纪，秦始皇制订了中国统一的度量衡（长度、容器和重量），以 \(10\) 寸为 \(1\) 尺，以 \(10\) 尺为 \(1\) 丈。 \(1\) 丈约为 \(231\) 厘米。
今天的公制单位米 (meter) 是法国人提出的。最初法国科学院将经过巴黎的地球子午线长度的千万分之一定义为 \(1\) 米。今天人们用真空中的光速来定义米：光在真空中 \(1/299792458\) 秒内行进的距离为 \(1\) 米。
思考与讨论
- 为什么用光速定义“米”时，用 \(1/299792458\) 这样一个数？
- 在光速定义中使用到了“秒”，秒又是如何定义的呢？
测量单位只是人类用来描述自然的手段，无论采用哪种单位都不会改变数学的本质。比如无论是用英尺还是米测量，正方形的周长都是边长的 \(4\) 倍，圆的周长和直径之比都是 \(\pi\) 。
带单位数量的计算
- 长度可以相加，得到更长的长度： \(4m+2m=6m\)
- 长度可以乘以数，得到数倍的长度： \(2m\times3=6m\)
- 长度可以乘以长度，得到面积： \(2m\times3m=6m^2\)
如果长度的单位不同，也可以相加或相乘，只是要进行单位转换，例如长度的相加：\(100cm + 2m = 1m + 2m = 3m\) 。再比如长度的相乘：\(200cm\times3m=2m\times3m=6m^2\) 。
思考与讨论
- 上述计算的几何意义是什么，你能画出对应的图形么？
- 上述加法的逆运算是什么，对应的几何含义是什么？
- 求图 20 所示长方形面积，以下算式的含义分别是什么？
\(4cm\times6cm\) \(4cm^2\times6\)\(4\times6cm^2\)
比例尺和图形标注
事物往往很大，无法按照实际大小绘制，于是人们绘制缩小的图形。
比例尺
比例尺是表示图上一条线段的长度与其实际长度之比。比例尺通常有三种表示方法：
- 数字式：用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如：\(1:50,000,000\) 或 \(1/50,000,000\) 。
- 线段式：在图上画一条线段（如 \(1cm\) ），并注明该线段所代表的实际距离。
- 文字式：直接用文字写出图上 \(1cm\) 代表实际距离是多少。
示例： 按 \(1:20\) 的比例尺将实际大小为 \(80cm\times120cm\) 的长方形绘制于纸上。
解： 图 21 绘制了该长方形。在图中一个小方格的边长为 \(1cm\) 根据 \(1:20\) 的比例尺，这代表实际大小的 \(20cm\) 。所以 \(80cm\times120cm\) 在图中占据 \(4cm\times6cm\) 即 \(4\) 格宽 \(6\) 格长。☐
♣在进行尺寸标注时，应当标注实际的尺寸而非图纸上的尺寸。例如在上述示例中，长方形的长度应当标注为 \(120cm\) 而非 \(6cm\) 。
有时候我们在绘制一些草图时，往往并不能按照实际的比例进行绘制，但尺寸标注应当准确。你在数学试题中会经常看到这样的图形。你直接拿尺子在图上量是得不到正确结果的。你需要理性地计算，或者重绘准确的图形。
拿尺子量一量，得到一个大概的结果，然后顺着结果去计算或证明。这并不是投机取巧，这其实正是数学家最初认识客观规律基本手段。
示例： 图 22 给出了一个尺寸不是很合适的图形，但尺寸标注是准确的。计算出未标注线段的长度，自选比例尺，在图 中绘制比例准确的图形。
思考与讨论
- 选定不同的比例尺绘制图形时，有哪些要素是不变的？
- 找一份你所在市的地图，比例尺是多少，计算一下你家门口街道的实际长度。
你有时会看到如图 24 所示的标注方式，这种方式往往用来消除标注歧义。比如图中的大括号表示 \(100cm\) 代表的是总长而非中间部分的长度。如何画好大括号是一个挑战，需要多加练习。请尝试在下面空白处照抄图 ，尤其要注意优雅地绘制大括号标记。
等量的运算
在解题中，常用到以下规则：
数量的运算规则
- 等量加等量，其和仍相等。
- 等量减等量，其差仍相等。
- 整体等于部分之和。
示例： 现代家具店的家具都是模块化拼装的。用同样的基本形状拼成不同的家具。图 25 展示了家具店出售的三人沙发、双人沙发和单人沙发的平面俯视图（从上面看下去的样子）。三人沙发宽 \(220cm\) ，双人沙发宽 \(160cm\) 。请问单人沙发的宽度是多少？
解： 三个沙发面和两个扶手（三人沙发）的宽度等于 \(220cm\) ，两个沙发面和两个扶手（双人沙发）的宽度等于 \(160cm\) 。这是题目中给出的两个等量关系，利用“等量减等量，其差仍相等”的运算规则，得到图 26 所示结果。
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思考与讨论
- 你能用字母表示沙发面和扶手的宽度，重写上述等式计算过程么？
示例： 求图 27 所示三角形 \(ABC\) 的面积。（小方格面积为 \(1\) ）
解： 用 \(2\times2\) 正方形，减去两个直角三角形的面积，就可以得到 \(\triangle ABC\) 的面积。
☐
示例： 两张长方形的纸片宽度相同。紧挨着放置时（如图 29 左侧所示），拼成的长方形面积之和为 \(100cm^2\) 。重叠放置时，大的纸片露出的部分面积是 \(20cm^2\) 。请问两张纸片的面积分别是多少
解： 两张纸片的面积之和是 \(100cm^2\) ，面积之差是 \(20cm^2\) 。我们可以根据题意将题图画为如图 28 所示图案。可知如下数量关系： \[20cm^2+S_2+S_2=100cm^2\]
进一步求得小纸片的面积为 \(S_2=(100cm^2-20cm^2)/2=40cm^2\)
大纸片的面积为 \(S_1=S_2+20cm^2=60cm^2\) 。☐
变化图形中的不变量
有时候题目的条件不能将图形唯一确定，这时你需要更多的技巧和观察力。解决这类题目主要有
求解图形不变量的技巧
- 既然条件不能将图形唯一确定，那么图形是如何变化的？
- 画出在给定条件下的几个不同图形，观察所要求的值。你往往能发现图形的变化并不改变这些值。
- 你能够给出一个“极限状态”的图形么？这往往会让计算变得特别简单。
- 如果是选择题，你可以直接得到一个数。但对于完整的解题，你还需要构建一个严格的过程。
当你面对比较简单的题目时，你可以直接看题目的窍门所在。不过总有一些题目位于你能力的边缘，这时上面的技巧会给你很大的帮助。上面的技巧不仅仅用于解题，它们能让你更好地体会空间结构。
示例： 图 31 中 \(ABCD\) 为正方形，边长为 \(5cm\) 。阴影部分为矩形，求阴影部分的周长。
解： 本题的条件没有唯一确定图形，图 32 给出了三种可能的图形。然而稍微数一下格子就可以发现，阴影部分的周长均为 \(20cm\) 。于是我们可以猜测答案为 \(20cm\) 。
- 你能够画出 \(E\) 点处于某种“极限位置”的图形，验证上述猜测么？
- 你能够构建一个证明，说明无论 \(E\) 点取正方形 \(ABCD\) 内的哪一点，阴影部分的面积都是 \(20cm\) 么？
示例： 长方形 ABCD 的周长是 \(30cm\) 。有另三个长方形的中心为点 A, B 和 D （如图 33 所示）。这三个 长方形(其中心分别为点 A, B 和 D 者)的周长之和是 \(20cm\) 。请问粗线的总长度是多少？
问题： Karla 透过窗户看到一面迎风飘动的长方形旗帜，如果旗帜完好，那么下面 ABCDE 五幅图中，哪一个图案是她不可能看到的。
问题： 如图 35 所示，左侧图案折叠起来是 ABCDE 中的哪个？
问题： 图 36 中，剪纸打开后的形状是 ABCDE 中的哪个？
问题： 如图 37 所示， \(ABCD\) 是正方形，边长为 \(10cm\) 。 \(AMTD\) 是长方形，短边长度等于 \(3cm\) 。问正方形 \(ABCD\) 的周长比长方形 \(AMTD\) 长多少？
问题： 如图 38 所示， Mary 、 Norbert 和 Oscar 进行袋鼠跳游戏，他们沿着粗线所示路径前进。如果三人同时出发，并且前进速度相同，以下说法哪个正确？
- [A.] Mary 和 Oscar 同时到达。
- [B.] Norbert 最后到达。
- [C.] Oscar 先到达。
- [D.] \(3\) 人同时到达。
- [E.] Mary 和 Norbert 同时到达。
问题： 如图 39 所示，每个小方格的面积为 \(1\) 。请问图示字母 N 的面积是多少？
问题： 如图 40 所示， I II III IV 都是正方形。 I 的边长是 \(16m\) ， II 的边长是 \(24m\) 。请回答以下问题：
- [a.] IV 的周长是多少？
- [b.] 整个图形的周长是多少？
问题： 图 41 中哪个图案的长度最长？
问题： 图 42 中哪一个图案面积最大？
问题： Mike 希望用一组同样的图形拼出图 43 中拼出左侧的图形（比如可以用 \(18\) 个小三角形）。请问他无法用 ABCDE 中的哪个样式拼出左侧的图形？
问题： 图 63 由四个正方形组成。其中两个正方形的边长分别为 \(16\) 和 \(40\) ，如图所示。最大的正方形的边长是多少？
问题： 图 45 中，\(AC=10m\)， \(BD=15m\)， \(AD=22m\)。求 \(BC\) 的长度。
问题： 求图 46 中 \(x\) 标记的线段长度。
问题： 将一个正八边形的纸片对折三次得到一个三角形，如图 47 所示。然后如图减去顶点，减掉的部分呈直角三角形。请问纸片打开后是什么样子？
问题： 如图 48 所示， 1 2 3 4 四个图形中的哪两个拼起来可以正好填补左侧正方形的空白？
问题： Karl 要把图 49 左侧所示的纸片沿格线剪开，完美剪成右侧的两种 L 形状的小纸片（剪完不能剩下边角料）。请问 Karl 可以剪出几个 3 格方格的 L 形状。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 无法完美剪成两种 L 型
问题： 两个 \(9cm\times9cm\) 的正方形重叠成一个 \(9cm\times13cm\) 的长方形，如图 50 所示。每个正方形重叠的部分面积有多大？
问题： 图 51 由七个正方形组成。请问最大的正方形的面积是最小的正方形面积的多少倍？
问题： 图 52 中，正方形 \(ABCD\) 由四个同样的长方形和一个正方形组成。每个长方形的周长是 \(40cm\) 。请问正方形 \(ABCD\) 的面积是多少？
问题： Kelly 有一根 \(27cm\) 长的纸带。她将纸带分为四个长方形，将两对长方形中心画线连接，如图 53 所示。请问两条线段长度的总和是多少？
A. \(12cm\) B. \(13.5cm\) C. \(14cm\) D. \(14.5cm\) E. 长度不定
问题： 如图 54 所示，四条纸带宽度均为 \(10cm\) ，长度依次相差 \(25cm\) ，拼成图示左侧的图形和右侧的图形。请问两个图形周长相差多少？
A. \(0cm\) B. \(20cm\) C. \(40cm\) D. \(50cm\) E. \(25cm\)
问题： 用两块图 55 中左侧的 L 型纸片，能拼出右侧四个形状中的几个？
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
问题： 如图 56 最右侧的图案所示，上面的硬币紧贴着下面的硬币滚动到右侧，硬币之间没有相对滑动。请问滚动之后的硬币图样是 ABCD 中的哪一个，或是如 E 所述取决于滚动速度？
问题： 如图 57 所示有四个齿轮，齿数分别是 \(30\) 、\(15\) 、\(60\) 和 \(10\) 。当最左侧的齿轮转过一圈后，最右侧的齿轮转了多少圈？
问题： 袋鼠Hip 和 Hop 在玩跳石头游戏。它们在地上放置了一些石头，依次跳过这些石头。规则是每一跳的路线正中都恰好有石头。图 58-1 是袋鼠 Hop 跳过的路径。袋鼠 Hip 换了个起点，如图 -2 所示。请问袋鼠 Hip 三跳后落在哪里？
问题： Peter 希望把图 59 所示的 \(7\times6\) 网格纸沿格线剪成若干个正方形。他最少能剪成几个正方形？（要求剪开的所有部分都是正方形）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 E. 42
问题： 任选两个三角形，将它们任意重叠起来。重叠的部分不能是什么形状？
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 E. 以上都可以
问题： 将一张纸对折再对折，然后裁去一个角，如图 60 所示。展开后，选项中的哪个图样是无法得到的？
问题： 一张长方形的纸的尺寸为 \(192mm\times84mm\) 。一刀把纸裁成两个矩形，其中一个是正方形。然后再裁那个不是正方形的部分，也是一刀裁成两部分，其中一个是正方形。如此周而复始，直到全是正方形。请问最小的正方形的边长是多少？
A. \(1mm\) B. \(4mm\) C. \(6mm\) D. \(10mm\) E. \(12mm\)
问题： 将正方形纸片如图 61 所示对折。如果原来正方形纸片的面积是 \(64cm^2\) ，请问阴影部分面积是多少？
问题： 图 62 中从 A 到 B 的折线长度是多少？
问题： 图 63 由四个正方形交叠而成。请问灰色部分总面积比黑色部分总面积大多少？
问题： 将一个大矩形剪成四个小矩形，如图 64 所示。其中三个矩形的周长分别是 \(11\) ， \(16\) 和 \(19\) 。另一个矩形的周长既不是最大的也不是最小的。请问原来大长方形的周长是多少？
A. 30 B. 40 C. 38 D. 32 E. 28
问题： 图 65 中包含 \(5\) 个一样的等腰直角三角形。它们的总面积是多少？
