极限与导数
数列极限
示例： 在小学阶段学习循环小数时我们了解到：序列 \(0.9,\ 0.99,\ 0.999\ ,\ ...\) 无穷延伸下去得到的循环小数 \(0.\dot{9}\) 等于 \(1\)。 表面上两个形式不同的数字（无穷多个 \(9\) 和一个 \(1\) ）是同一个数，这初看起来令人惊讶。在严谨地说明这一事实的过程中，我们能够体会到不同的数学方法。
（1）可以通过代数方法说明这一事实：所谓代数手段，就是通过一系列的“变换”，将不同的形式化为相同的形式。
令 \(x=0.\dot{9}\) ，则 \(10x=9.\dot{9}\)
将两式相减得到 \(9x=9\) ，从而 \(x=1\) 。这种代数变换也用于等比数列求和
（2）通过仔细审视“相等”一词的含义，也可以找到方法：
“两个数相等”换言之就是“无论多小的间隙，都放不进这两个数之间”。
☐
第二种方法是一种全新的数学手段。我们将继续拓展，进而发展出一系列有力的数学工具。
以下我们给出数列极限的样定义：
数列的极限
对于数列 \(x_n\) ，若对于每一正数 \(\epsilon\) ，不论它怎样小，恒有序号 \(N\) ，使在 \(n>N\) 时，一切 \(x_n\) 的值满足不等式：\[|x_n-a|<\epsilon\qquad\bigstar\]
则常数 \(a\) 称为数列 \(x=x_n\) 的极限。记作： \[\lim x_n=a\] 或 \[\lim x=a\]
上述定义可以直观（但不严谨）地叙述成：** 若数列 \(x_n\) 从足够远项开始能够与 \(a\) 相差任意小，则 \(a\) 是数列 \(x=x_n\) 的极限。**
含有任意 \(\epsilon\) 的不等式 \(\bigstar\) 就是 \(x_n\) 可以与 \(a\) “相差任意小”这一句话的准确记法，而序号 \(N\) 恰好就指示着上述定义中“从某项开始”那个“某项”的位置。
你还需要认识到，序号 \(N\) 一般地说来，并不是一经指定后就永远不变的：它是由我们所选的数 \(\epsilon\) 来决定的。为了强调这件事，我们有时不写 \(N\) 而写成 \(N_\epsilon\) 。当 \(\epsilon\) 减小时，与它对应的序数 \(N=N_\epsilon\) ，一般地说来，将会增大：要使 \(x_n\) 更接近 \(a\) ，在数列内所要考察的数值便必须更远。
示例： 证明对于常数序列 \(x_n=a\) ，有 \(\lim x_n=a\) 。
示例： 证明对于数列 \(x_n=\dfrac{n}{n+1}\) ，有 \(\lim x_n=1\) 。
示例： 证明对于数列 \(x_n=\dfrac{n^2}{2n^2+n+1}\) ，有 \(\lim x_n=\dfrac{1}{2}\) 。
无穷小量
当数列的极限为 \(0\) 时，即 \(x_n\to0\) ，特别值得注意。
无穷小量（第一定义）
极限为 \(0\) 的整序变量 \(x_n\) 称为 无穷小量，或简称无穷小 。
即对于任意的正数 \(\epsilon\) ，存在正整数 \(N\) 使得 \(n>N\) 时均有：\[|x_n-0|=|x_n|\]
这样，无穷小的定义可以不用术语“极限”而更详细地叙述成：
无穷小量（第二定义）
若整序变量 \(x_n\) 的绝对值自某项起，成为而且永远保持小于预先指定的任意小数 \(\epsilon > 0\) ，则它称为无穷小。
若以该定义为极限论的出发点，则对于无穷小必须应用上述的第二定义（不含“极限”字样的版本。）。否则便会出现循环定义。
若常数 \(a\) 与整序变量 \(x_n\) 的差是无穷小量，则 \(a\) 称为整序变量 \(x_n\) 的极限。
示例： 考察整序变量 \(x_n=\dfrac{1}{n},\ x_n=-\dfrac{1}{n},\ x_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\) 是否为无穷小量。
示例： 考察整序变量 \(x_n=\dfrac{1+(-1)^n}{n}\) 是否为无穷小量。
示例： 考察整序变量 \(x_n=\dfrac{2+(-1)^n}{n}\) 是否为无穷小量。
上述这些简单的例子是很有趣的，由于它们表现出饱含在上述整序变量的极限定义中的各种各样的可能性。变量的值是否均在极限值的一方；变量是否每一步都向其极限接近；最后，变量是否能到其极限，即是否具有等于极限的数值；这些都不关紧要。重要的仅是定义中所说的：变量在最后，即项数充分远时的数值，与极限值之差要是任意小。
函数的极限
考察数集 \(\mathcal{X}={x}\) 。若在点 \(a\) 的任意近处包含有 \(X\) 中异于 \(a\) 的 \(x\) 值，则点 \(a\) 称为这数集的聚点。 为了更准确地表达这个定义，我们引入 \(a\) 的邻域的概念：以点 \(a\) 为中心的开区间 \((a-\delta,a+\delta)\) 就称为点 \(a\) 的邻域。数集的聚点
若在点 \(a\) 的任一邻域内饱含 \(\mathcal{X}\) 中异于 \(a\) 的 \(x\) 值，则点 \(a\) 是数集 \(X\) 的聚点。
示例： 证明 \(-1\) 是 数集 \(\mathcal{X}=\{x|-1<x<1\}\) 的聚点。
示例： 写出数集 \(\mathcal{X}=\{x|-1<x<1\}\) 的全部聚点组成的集合。
示例： 写出自然数集的聚点组成的集合。
示例： 写出从 \(1\) 开始的自然数的倒数集合 \(\{\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\ ...\}\) 的聚点。
函数在一点处的极限
设在区域 \(\mathcal{X}\) 内给定函数 \(f(x)\) ，且 \(a\) 是 \(\mathcal{X}\) 的聚点。若任取 \(\epsilon>0\) ，均存在 \(\delta>0\) 使得对于满足 \(|x-a|<\delta\) 的所有 \(x\) 均满足： \[|f(x)-A|<\epsilon\]
（其中的 \(x\) 取自 \(\mathcal{X}\) 内异于 \(a\) 的值）则称当 \(x\) 趋向于 \(a\) 时（或称在 \(a\) 处），函数 \(f(x)\) 的极限为 \(A\) ，记作 \[\lim_{x\to a}f(x)=A\]
右极限与左极限
设 \(\mathcal{X}\) 是这样一种区域：仅在 \(a\) 的右边 任意近处，能找出 \(\mathcal{X}\) 内异于 \(a\) 的 \(x\) 数值（在这种场合点 \(a\) 称为 \(\mathcal{X}\) 的右聚点），则可以把前述函数的极限定义特殊化，使其仅限于 \(x>a\) 的数值。在这种场合，若函数极限存在，就称当 \(x\) 从右边趋向于 \(a\) 时函数 \(f(x)\) 的极限，简称（在点 \(a\) 处的）右极限，并记作：\[\lim_{x\to a+}f(x)\]
类似地可建立概念：左聚点以及当 \(x\) 从左边趋向于 \(a\) 时函数的极限或（在点 \(a\) 处的）左极限：\[\lim_{x\to a-}f(x)\]
无穷极限
（1）当 \(x\) 趋向于有限极限 \(a\) 时，函数亦可以有无穷极限（不带符号或有确定符号）。即，对于任一数 \(E>0\) ，都存在 \(\delta>0\) ，对于所有的 \(x\) 满足 \(|x-a|<\delta\) ，都有：\[f(x)>E \quad (f(x)<-E)\]
（其中的 \(x\) 如前，取自 \(\mathcal{X}\) 内异于 \(a\) 的值）则称当 \(x\) 趋向于 \(a\) 时（或在点 \(a\) 处）函数 \(f(x)\) 以 \(+\infty\) （\(-\infty\)）为极限，记作：\[\lim_{x\to a}f(x)=+\infty(-\infty)\]
（类似地，这个情形也可以定义右极限和左极限。）
（2）若数集 \(\mathcal{X}\) 包含（绝对值）任意大的正（负）值 \(x\) ，则称 \(+\infty(-\infty)\) 是 \(\mathcal{X}\) 的聚点。
在此假定下，若对于任一 \(\epsilon>0\) ，都存在 \(\Delta>0\) ，只需 \(x>\Delta(x<-\Delta)\) ，便能使 \[|f(x)-A|<\epsilon\]
则称当 \(x\) 趋向于 \(+\infty(-\infty)\) 时函数 \(f(x)\) 有极限 \(A\) ，并记作：\[\lim_{x\to \infty(-\infty)}f(x)=A\]
示例： 在有限点处的有限极限
写出 \(f(x)=x+1\) 在 \(x=0\) 处的极限并证明。
示例： 在有限点处的有限极限
写出 \(f(\Delta)=2\Delta+1\) 在 \(\Delta=0\) 处的极限并证明。
示例： 在有限点处的有限极限（函数在该点无定义）
写出 \(f(x)=\dfrac{x}{x}\) 在 \(x=0\) 处的极限。
示例： 在有限点处的有限极限（函数在该点无定义）
写出\(f(\Delta)=\dfrac{2x\Delta}{\Delta}\) 在 \(\Delta=0\) 处的极限。
示例： 在有限点处的有限极限（函数在该点无定义）
写出\(f(\Delta)=\dfrac{2x\Delta+\Delta^2}{\Delta}\) 在 \(\Delta=0\) 处的极限。
有限极限的运算法则
有限极限的运算法则是相当直观的：
数列极限的四则运算法则
若数列 \(x_n\) 与 \(y_n\) 趋于有限极限：\[\lim x_n=a,\ \lim y_n=b\]
则它们的和差积商也趋于极限的和差积商： \[\begin{align*} &\lim x_n\pm y_n=a\pm b \\ &\lim x_n\cdot y_n=a\cdot b\\ &\lim \dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{a}{b} ,\ \ (b\neq0) \end{align*}\]
函数极限也有相同的运算法则：
函数极限的四则运算法则
若 \(f(x),g(x)\) 趋于有限极限： \[\lim_{x\to x_0}f(x)=a,\ \lim_{x\to x_0}g(x)=b\]
则它们的和差积商也趋于极限的和差积商： \[\begin{align*} &\lim_{x\to x_0} f(x)\pm g(x)=a\pm b \\ &\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot g(x)=a\cdot b\\ &\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{a}{b} ,\ \ (b\neq0) \end{align*}\]
上述法则可以很容易地用极限的定义证明。这些规则虽然直观，但却是后续引出导数运算法则的基础。
曲线的切线
现在我们就给出切线的普遍定义：
切线的定义
在曲线（\(K\)）上（如图 1 所示）有点 \(M\) ，在点 \(M\) 外再取一点 \(M_1\) ，连接两点做曲线的割线 \(MM_1\) 。当点 \(M_1\) 沿曲线移动时，这割线将绕点 \(M\) 而转动。
当点 \(M_1\) 沿曲线（\(K\)）运动而趋于与 \(M\) 重合时，割线 \(MM_1\) 的极限位置 \(MT\) 就称为曲线（\(K\)）在点 \(M\) 处的切线。即割线 \(MM_1\) 的极限位置与 \(MT\) 重和（夹角为 \(0\) ）
用 \(\epsilon-\delta\) 语言描述就是：对于任意的角度 \(\epsilon>0\) ，总存在长度 \(\delta\) 使得弦长 \(|MM_1|<\delta\) 时都有 \(\angle{M_1MT}<\epsilon\) 。
示例： 求 \(f(x)=ax^2\) 在点 \(M(x,ax^2)\) 处的切线斜率。
解： 利用切线的定义求抛物线在 \(M(x,ax^2)\) 处的切线斜率。
在抛物线上另取一点 \(M_1\) ，坐标为 \((x+\Delta,\ a(x+\Delta)^2)\)
更常见的写法是 \(x+\Delta x\) ，考虑到读者可能还不太熟悉，我们用 \(\Delta\) 替代 \(\Delta x\) ，以示其和 \(x\) 是完全不同的变量。
现在我们来计算割线 \(MM_1\) 的斜率：\[k_{MM_1}=\dfrac{a(x+\Delta)^2-ax^2}{x+\Delta-x}=a\cdot\dfrac{2x\Delta+\Delta^2}{\Delta}=a(2x+\Delta)\]
当 \(M_1\) 趋向于 \(M\) 时，割线变为切线，同时 \(\Delta\to0\) 。
点 \(M\) 处的切线斜率就是 \(k_{MM_1}=a(2x+\Delta)\) 在 \(\Delta=0\) 处的极限：
因此在点 \(M\) 处切线斜率为 \(k_M=\lim_{\Delta\to0}a(2x+\Delta)=2ax\)☐
示例： 求 \(f(x)=x^2\) 在 \(x=2\) 处的切线方程。
示例： 求 \(f(x)=x^3\) 在 \(x=2\) 处的切线斜率。
示例： 求 \(f(x)=x^3+x^2\) 在 \(x=2\) 处的切线斜率。
示例： 如果 \(f(x),\ g(x)\) 在 \(x=a\) 处的切线斜率分别为 \(k_f,\ k_g\)，求证 \(f(x)+g(x)\) 在 \(x=a\) 处的斜率为 \(k_f+k_g\)
导数
导数的定义
若函数 \(y=f(x)\) 的增量 \(\Delta y\) 与引起这增量的自变量的增量 \(\Delta x\) 的比例式当 \(\Delta x\) 趋向于 \(0\) 时的极限存在，即： \[\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\]
存在，这极限就称为函数 \(y=f(x)\) 当 \(x=x_0\) 时（或在所给点 \(x=x_0\) 处）关于自变量 \(x\) 的导数。
函数的导数值随自变量变化的函数称为导函数，通常用以下符号之一表示： \[\dfrac{d y}{d x},\ \dfrac{df(x)}{dx},\ f'(x)\]
在不引起歧义的场合，我们将函数在一点的导数和函数的导函数统一简称作导数。
示例： 求 \(f(x)=c\) 的导函数（其中 \(c\) 为常数）
示例： 求 \(f(x)=ax\) 的导函数。
示例： 求 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 的导函数。
导数的记号
在进行进一步的学习之前，我们要学习一下导数的记号，这样可以让清晰地进行数学推导。
极限和导数的记号
通常使用以下记号表示自变量 \(x\) 趋于极限 \(a\) 时函数值 \(f(x)\) 的极限： \[\lim_{x\to a}f(x)\]
计算函数 \(f(x)\) 在任意点的导数时，用函数值的增量 \((f(x+\Delta x)-f(x))\) 除以自变量的增量\((x+\Delta x-x)\)，再求该比例在 \(\Delta x\to0\) 时的极限，这个极限记作 \(f'(x)\) 或 \(\dfrac{df(x)}{dx}\)，如下所示： \[\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{x+\Delta x-x}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}\ \triangleq\ \dfrac{d f(x)}{dx}\ \triangleq\ f'(x)\]
对于 \(y=f(x)\) ，其导数也记作 \(y'\) 。
符号 \(\triangleq\) 是“记作”的意思
导数本身也是自变量的函数，对其继续求导就是高阶导数。
高阶导数的定义如下：
高阶导数
若函数 \(y=f(x)\) 在某一区间 \(\mathcal{X}\) 内有有限导数 \(y'=f'(x)\) ，则后者本身也是 \(x\) 的函数。该函数若在某点也有有限或无穷导数，它就称为函数 \(y=f(x)\) 在该点处的二阶导数，并以下列记号之一来表示：\[\dfrac{d^2y}{dx^2}\ ,\ y''\ ;\ \dfrac{d^2f(a)}{dx^2}\ ,\ f^{''}(a)\]
类似地也有三阶导数：\[\dfrac{d^3y}{dx^3}\ ,\ y'''\ ;\ \dfrac{d^3f(a)}{dx^3}\ ,\ f^{'''}(a)\]
及更高阶导数。
示例： 写出 \(f(x)=x^3\) 的一阶、二阶和三阶导数。
导数的运算法则
示例： 已知 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 可导，求 \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\) 的导数。
解： 根据导数的定义，\(h(x)\) 在 \(x=a\) 处的导数为： \[h'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{h(a+\Delta x)-h(a)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta h(a)}{\Delta x}\] 得到： \[\begin{align*} h'(a)&=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(a+\Delta x)g(a+\Delta x)-f(a)g(a)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{(f(a)+\Delta f(a))(g(a)+\Delta g(a))-f(a)g(a)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(a)\Delta g(a)+g(a)\Delta f(a)+\Delta f(a)\Delta g(a)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(a)\Delta g(a)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{g(a)\Delta f(a)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f(a)\Delta g(a)}{\Delta x}\\ &=f(a)g'(a)+g(a)f'(a)+f'(a)\lim_{\Delta x\to0}\Delta g(a)\\ &=f(a)g'(a)+g(a)f'(a) \end{align*}\]
因此 \(h(x)=f(x)g(x)\) 的导数为 \(f(x)g'(x)+g(x)f'(x)\)☐
如果记 \(f(a)\triangleq f\)，\(\Delta f(a)\triangleq \Delta f\)，\(f'(a)\triangleq f'\) ，上述推导过程可以简写为： \[\begin{align*} (f\cdot g)'&=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{(f+\Delta f)(g+\Delta g)-f\cdot g}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f\cdot\Delta g+g\cdot\Delta f+\Delta f\cdot\Delta g}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f\cdot\Delta g}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{g\cdot\Delta f}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f\cdot\Delta g}{\Delta x}\\ &=f\cdot g'+g\cdot f'+f'\cdot\lim_{\Delta x\to0}\Delta g\\ &=f\cdot g'+g\cdot f' \end{align*}\]
示例： 已知 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 可导，求 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 的导数。
解： 先计算自变量的增量为 \(\Delta x\) 时， \(h(x)\) 的增量：\[\Delta h=\dfrac{f+\Delta f}{g+\Delta g}-\dfrac{f}{g}=\dfrac{\Delta f\cdot g-f\cdot\Delta g}{g\cdot(g+\Delta g)}\] 进一步计算导数： \[h'=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f\cdot g-f\cdot\Delta g}{g\cdot(g+\Delta g)}\cdot \dfrac{1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\cdot g-f\cdot\dfrac{\Delta g}{\Delta x}}{g\cdot(g+\Delta g)}\] 得到：\[h'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\]☐
示例： 已知 \(f(x)\) 的导函数为 \(f'(x)\) ，求 \(f(x^2)\) 的导数。
解： 自变量 \(x\) 的微小变化 \(\Delta x\) 引起 \(x^2\) 的微小变化 \(\Delta x^2\) ，这二者在极限下的比例就是 \(x^2\) 的导数。 \(x^2\) 的微小变化 \(\Delta x^2\) 引起 \(f(x^2)\) 的微小变化 \(\Delta f(x^2)\) ，这二者在极限下的比例由 \(f(x)\) 的导数刻画（将导函数 \(f'(x)\) 中的 \(x\) 替换成 \(x^2\)）。
想明白上述意义后，可以得到以下计算过程： \[\begin{align*} \lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f(x^2)}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f(x^2)\cdot \Delta x^2}{\Delta x^2\cdot \Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f(x^2)}{\Delta x^2}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta x^2}{\Delta x}\\ &=f'(x^2)\cdot(x^2)'\\ &=2x\cdot f'(x^2) \end{align*}\]☐
综上所述，我们得到导数的运算法则：
导数的运算法则
(1) 数乘法则：\((c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)\)
(2) 加法法则：\((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\)
(3) 乘法法则：\((f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
(4) 除法法则：\(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}\)
(5) 复合法则：\([f(g(x))]'=f_u'(g(x))\cdot g'(x)\)
注意：\(f_u'(g(x))\) 表示函数 \(f(u)\) 关于变元 \(u\) （并非关于 \(x\) ）的导数在这个变元取值 \(u=g(x)\) 处的值。
幂函数相关的导数
示例： 求 \(f(x)=(3x-1)^3\) 的导数。
解： 利用幂函数的导数 \((u^3)'=3u^2\) 以及复合函数求导法则： \[\begin{align*} f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta(3x-1)^3}{\Delta (3x-1)}\cdot\dfrac{\Delta(3x-1)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta(3x-1)^3}{\Delta (3x-1)}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta(3x-1)}{\Delta x}\\ &=3(3x-1)^2\cdot3\\ &=81x^2-54x+9 \end{align*}\]
验算 \(f(x)\) 是我们已经熟悉的多项式函数，展开即可求导： \[\begin{align*} f'(x)&=(27x^3-27x^2+9x-1)'\\ &=81x^2-54x+9 \end{align*}\]
得到与利用复合函数求导同样的结果。☐
示例： 求 \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) 的导数。
解： 利用幂函数的导数 \((u^{-1})'=-u^{-2}\) 以及复合函数求导法则： \[\begin{align*} f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta(x^2+1)^{-1}}{\Delta (x^2+1)}\cdot\dfrac{\Delta(x^2+1)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta(x^2+1)^{-1}}{\Delta (x^2+1)}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta(x^2+1)}{\Delta x}\\ &=-(x^2+1)^{-2}\cdot2x\\ &=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2} \end{align*}\]☐
示例： 求 \(f(x)=\sqrt{3x^2+1}\) 的导数。
解： 利用幂函数的导数 \(u^{1/2}=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}\) 以及复合函数求导法则： \[\begin{align*} f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta\sqrt{3x^2+1}}{\Delta (3x^2+1)}\cdot\dfrac{\Delta(3x^2+1)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta\sqrt{3x^2+1}}{\Delta (3x^2+1)}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta(3x^2+1)}{\Delta x}\\ &=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+1}}\cdot6x\\ &=\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+1}} \end{align*}\]☐
利用导数处理函数最值问题
示例： 求函数 \(f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\) 的最大值和最小值。
解： 这道题目我们在《二次方程》和《三角函数》的课程阶段分别使用判别式法和三角换元法求解过，如今我们使用导数来处理此问题。
注意到 \(x\in[-1,1]\) ，且 \(f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
令 \(f'(x)=0\) 得到 \(\sqrt{1-x^2}-x=0\) 解出 \(x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 。
易知 \(x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 时，\(f'(x)>0\) ；\(x>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 时，\(f'(x)<0\) 。
故 \(f(x)\) 在 \(x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 时取到最大值 \(f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}\) 。
函数的最小值在区间端点处取到，比较 \(f(-1)\) 和 \(f(1)\) 的值，得到最小值为 \(f(-1)=-1\) 。
综上所述，函数的最大值和最小值分别为 \(f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}\) 和 \(f(-1)=-1\) 。☐
示例： 求 \(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\) 的值域。
解： 容易看出函数的定义域为 \([1,5]\) ，再对函数进行求导： \[f'(x)=\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}} - \dfrac{1}{\sqrt{5-x}}\right)\]
令 \(f'(x)=0\) 解得 \(x=3\) ，
且易知 \(x\in[1,3)\) 时导数为正，\(x\in(3,5]\) 时导数为负。
故 \(f(3)=2\sqrt{2}\) 为函数的最大值。
考察区间端点，\(f(1)=f(5)=2\)，故 函数的最小值为 \(2\) 。
综上所述，函数的值域为 \([2,2\sqrt{2}]\) 。☐
示例： 求函数 \(f(x)=x\sqrt{1-x^2}\) 的值域。
三角函数的导数
三角函数的导数
\[(\sin x)'=\cos x\] \[(\cos x)'=-\sin x\] \[(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}\] \[(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}\]
为了证明上述导数，要做一系列的准备工作：
示例： 证明不等式 \(\sin x<x<\tan x\)
示例： 证明不等式 \(1>\dfrac{\sin x}{x}>\cos x\)
示例： 证明 \(1-\cos x\) 在 \(x=0\) 处的极限是 \(0\)
示例： 证明 \(\dfrac{\sin x}{x}\) 在 \(x=0\) 处的极限是 \(1\)
于是我们得到了以下重要极限：
\(\dfrac{\sin x}{x}\) 的极限
函数 \(\dfrac{\sin x}{x}\) 在 \(x=0\) 处的极限为 \(1\) ，即： \[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\]
示例： 求 \(f(x)=\sin x\) 的导数。
解： 根据导数的定义： \[\begin{align*} f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\sin x\cos\Delta x+\sin\Delta x\cos x-\sin x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\sin x\cos\Delta x-\sin x}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\sin\Delta x\cos x}{\Delta x}\\ &=\sin x\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}+\cos x\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}\\ &=\sin x\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{-2\sin^2\dfrac{\Delta x}{2}}{\Delta x}+\cos x\\ &=-\sin x\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\sin^2\dfrac{\Delta x}{2}}{\dfrac{\Delta x}{2}}+\cos x\\ &=-\sin x\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\sin\dfrac{\Delta x}{2}}{\dfrac{\Delta x}{2}}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\sin\dfrac{\Delta x}{2}+\cos x\\ &=\cos x \end{align*}\]
综上所述 \((\sin x)'=\cos x\) 。☐
示例： 利用导数的定义，求 \(f(x)=\cos x\) 的导数。
示例： 利用导数的除法法则求 \(\tan x\) 的导数。
示例： 利用导数的除法法则求 \(\cot x\) 的导数。
示例： 分析 \(f(x)=\cos 2x-2\sin x\) 的周期性、单调区间、极值点和值域，草绘函数图像。
解： \(2\pi\) 是函数的周期，分析 \(x\in[0,2\pi)\) 区间内函数的性质，然后加上 \(2k\pi\) 推广至 \(x\in\mathbb{R}\)
求 \(f(x)\) 的一阶导数： \[\begin{align*} f'(x)&=-2\sin2x-2\cos x\\ &=-2\cos x(1+2\sin x) \end{align*}\]
当 \(\cos x=0\) 或 \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\) 时 \(f'(x)=0\)
因此得到函数的极值点为： \(x=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\)
求 \(f(x)\) 的二阶导数：\(f''(x)=-4\cos2x+2\sin x\)
从小到大分析 \(x\in[0,2\pi)\) 中的极值点：
\(f''(\dfrac{7\pi}{6})=-1\) ，故 \(x=\dfrac{7\pi}{6}\) 是极大值点，\(f(\dfrac{7\pi}{6})=\dfrac{3}{2}\)；
\(f''(\dfrac{\pi}{2})=6\) ，故 \(x=\dfrac{\pi}{2}\) 是极小值点，\(f(\dfrac{\pi}{2})=-3\)；
\(f''(\dfrac{11\pi}{6})=-1\) ，故 \(x=\dfrac{11\pi}{6}\) 是极大值点，\(f(\dfrac{5\pi}{6})=\dfrac{3}{2}\)；
\(f''(\dfrac{3\pi}{2})=2\) ，故 \(x=\dfrac{3\pi}{2}\) 是极小值点，\(f(\dfrac{5\pi}{6})=1\)。
在下面绘制出函数草图：
思考与讨论
- 你如何说明上述函数的最小正周期为 \(2\pi\) ？
习题
练习： 求 \(f(x)=(2x+3)^3\) 的导函数。
练习： 求 \(f(x)=\sqrt{2x-3}\) 的导函数。
练习： 求 \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}}\) 的导函数。
练习： \(y=2+x-x^2\) 问 \(y'(0),\ y'(\dfrac{1}{2}),\ y'(10)\) 等于什么？
练习： \(y=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x\) ，当 \(x\) 为何值时：
(a) \(y'=0\)(b) \(y'=-2\)(c) \(y'=10\)
练习： 求 \(y=(x-a)(x-b)\) 的导函数。
练习： 若 \(f,g,h\) 的导函数分别为 \(f',g',h'\) ，求 \(y=f(x)g(x)h(x)\) 的导函数。
练习： 求 \(y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3\) 的导函数。（写成因式分解后的形式）
练习： 求 \(y=(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)^3\) 的导函数。（写成因式分解后的形式）
练习： 求 \(y=(1+nx^m)(1+mx^n)\) 的导函数。
练习： 证明公式 \(\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{\begin{vmatrix} a & b \\c & d \\\end{vmatrix}}{(cx+d)^2}\)
练习： 求 \(y=\dfrac{2x}{1-x^2}\) 的导函数。
练习： （一）求 \(f(x)=\sin x+ \cos x\) 的导函数。（二）利用导函数求 \(f(x)\) 的极值点。
练习： 利用导函数求 \(f(x)=3\sin x+4\cos x\) 在 \(x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]\) 的极值点。
练习： 求 \(y=(2-x^2)\cos x++2x\sin x\) 的导函数。
练习： 求 \(y=\sin^nx\cos nx\) 的导函数。
练习： 求 \(y=\dfrac{1}{\cos^nx}\) 的导函数。
练习： 求 \(y=\tan\dfrac{x}{2}-\cot\dfrac{x}{2}\) 的导函数。