数据分析
导言
数据可视化，是将数据以表格或图的形式表示出来，能够直观地看出数据的特点，从而指导人们的实际活动。
下图 1 将某个英语培训机构的教师指导的学生人数（左）转化成了直观的数据图（右），哪位老师的学生多，哪位老师的学生少，是不是一目了然？
思考与讨论
- 上述图表有什么局限性？你能想到什么改进的方法？
示例： 在生产生活中产生的大量垃圾，正在严重侵蚀我们的生存环境，垃圾分类是实现 垃圾减量化、资源化和无害化的有效途径。2019年11月27日，北京市十五届人大常委会第16次会议表决通过北京市人大常委会关于修改《北京市生活垃圾管理条例》的决定，使得北京市的垃圾分类工作有法可依。图 2 显示了某个垃圾分类回收站下半年的旧报纸回收数据。请根据图中显示数据，计算报纸下半年报纸回收的总重量，并计算每月的平均回收量。
直方统计图
直方图(Histogram)
直方图是一种统计报告图，由一系列高度不等的纵向条纹或线段表示数据分布的情况。 一般用横轴表示数据的不同种类或数值，纵轴表示分布情况。
示例： 以下数据是某个班级期中考试的数学成绩，从这一堆数字中，你能看出什么有用的信息么？
将数据整理成直方图 3 后，你又能看出什么有用的信息？
在实践中为了方便进行统计工作，可以采用某种准备好的表格（图 4）来辅助图表的制作。
思考与讨论
- 根据上述图表，估计全班的数学平均成绩。
- 根据原始数据，用计算器计算全班的平均成绩。
- 你的估算接近计算结果么？如果相差较大，反思并改进你的估算方法。
- 上述制作方法还可以怎样改进？
示例： 图 5 给出了历任美国总统的寿命（乔治.华盛顿 至 罗纳德.里根），单纯罗列这些数字，我们很难看出有用的数据。
首先，请利用下面的方格阵列，使用前述方法整理数据：
思考与讨论
- 你能从上述图表中看出什么？
- 上述数据可视化方法有什么局限性？
- 你能想到什么改进的方法？
在绘制直方图时，往往将数据划分为不同的区间，针对每个区间统计数据样本出现的频度。例如上述数据按照 \(10\) 岁一组的年龄段可以整理为右图 6 所示表格。然后如图 所示，根据上述统计结果绘制柱状直方图 (a) 或茎叶图 (b) 。
提示：在汉字文化圈，“画正字”是一种非常方便的计数方式，你知道什么是“画正字”么？
柱状直方图丢失了一些数据信息，即美国总统的寿命分布细节，但直观地表示出了寿命的大致分布。茎叶图则完整地保留了年龄的细节信息。茎叶图还可以用来比对两组不同的数据。例如在上述美国总统寿命数据中，可以将全部的总统按任职时间分为早期和晚期，将寿命数据绘制在茎叶图的两侧，如图 8所示。
示例： 将前述示例的班级学生成绩，绘制成茎叶图。如果想对比第一行和第二行的成绩，茎叶图又应当如何绘制？（成绩重录如下）
百分比图
百分比图显示一个数据系列中各项的大小与各项总和的比例。
示例： 泰坦尼克号是当时世界上体积最庞大的客运轮船。然而不幸的是在首次航行即遭厄运。 1912年4月14日，泰坦尼克号与一座冰山相撞，次日泰坦尼克号沉入大西洋底。图 9 显示了头等舱、二等舱、三等舱和船员中的遇难与幸存者人数。
为了清晰地表现各类乘客在幸存者和遇难者中的比例，我们绘制百分比图。首先计算各类乘客占据的百分比，再换算成扇形的角度，如图 10 所示。最终绘制成饼图，并且为每种数据对应的扇形区域着不同的颜色，如图 （左）所示。另外，也可以使用柱状百分比图，如图 （右）所示。
折线图
折线图可以显示随时间或其它变量的变化而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势。
示例： 图 12 显示了 Sanna 的体重从出生开始到 \(9\) 岁的变化趋势图。从图中可以看出，这位小朋友的体重在 \(9\) 岁时达到了 \(90\) 磅（约合 \(40.8kg\)）。体重增长最快的时间段是三到四岁之间。
示例： 如果某个量随另外一个量的均匀变化成等差数列，那么称这种关系为线性关系。例如一个首项为 \(2\) 公差为 \(2\) 的等差数列：\[2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,...\]
下图 13 将该等差数列的前 \(10\) 项标记在坐标格中，每个点代表（项，项数）的关系：
可以看到这些点都在一条直线上，如下图 14 所示：
实践中，数据之间往往不是严格成线性关系，甚至影响因素很多，但我们往往首先致力于从数据中找出某种“线性关系”。
示例： 图 15 (a) 展示了某班级学生的学习时间和测验成绩的统计数据。从数据中可以看出（图 (b)），大体上，在一个时间范围内的学习时间越长，成绩越好，但也不尽然。
示例： 多折线图能够方便地对比几组数据的不同趋势，下表给出了美国五个州在上世纪的人口增长趋势，图 17 将数据绘制为多折线图。从折线图可以看出，佛罗里达州的人口增长速度远远超过其它四个州。
平均数
如果想用一个数表示一组数据的特征，你往往应当采用平均数。虽然这样处理会“丢失掉”很多信息，但平均数仍然是人们首先要考虑的指标。
示例： 图 18 展示了统计数据的平均数。这三组数据的平均数都是 \(5\) ，你能从图中读出这两组数据么，这两组数据有什么不同？
思考与讨论
- 在计算一组数据的平均数时，有一个数据发生了变化，会对平均数产生什么影响？
- 上述数据虽然平均数相同，但还是有较大差别，这三组数据给你的感觉有什么不一样？
- 你能想出某种可以计算的指标，以具体计算结果的形式（一个数），表示这种给你的“不一样的感觉”么？
- 如果在测量时（比如测量身高），某次测量结果特别大或者特别小，应当如何计算平均数？
- 如果数据中有一小部分数据特别大，会对平均数产生什么影响，这时候还有什么方法表示数据的整体平均情况？
综合练习
练习： 图 19 给出了某日的气温数据，图 中的四幅折线图，哪个能与该数据对应？请说明你的理由。
练习： 图 21 是某个数学网课在单月内的在线访问量统计柱状图和折线图，哪幅图更适合？请说明你的理由。
练习： 图 22 是 Abel 班里同学们最喜爱颜色的人数统计，哪幅图更适合？请说明你的理由。
练习： 右图 23 给出了某班级期中数学考试的成绩。
- 用计算器计算平均分。
- 自定分数段，绘制柱状统计图。
- 绘制茎叶图。
练习： 图 24 是 1950 年到 2050 年的世界人口趋势统计和预测图。图中的 Billion 代表十亿。根据该图回答以下问题：
- 1970 年时世界人口约为多少？
- 上世纪最后五十年，全球平均每年增长的人口数大约是多少？
- 这张图是 2010 年绘制的，本讲义写作时已经是 2021 年了，上网查一查资料，图中对全球 2020 年人口的预测准么？
练习： 图 25 是某商店在 2010 年和 2011 年的雪铲销售数量统计图。根据该图回答问题：
- 雪铲的销售主要集中在哪几个月，为什么？
- 对比 2010 年和 2011 年的销售情况的差别，并猜测导致这种差别的原因。
练习： 右图 26 给出了历届奥运会的男子百米赛跑夺冠成绩，请自选两种恰当的数据可视化方案，说明选择依据，绘制数据统计图。
练习： 两个数的平均数是 \(10\) ，其中一个数增加 \(6\) ，平均数变为多少？
练习： 两个数的平均数是 \(10\) ，其中一个数增加一定数值，导致平均数增加 \(6\) 。请问该数增加了多少？
练习： 一共有三个数，其中前两个数的平均数是 \(10\) ，第三个数比前两个数的平均数大 \(6\) 。请问这三个数的平均数是多少？
练习： 四（1）班同学参加数学竞赛，全班同学的平均分是 \(90\) 分，男生的平均分是 \(88\) 分，女生的平均分是 \(93\) 分。女生有 \(18\) 人，男生有多少人？
练习： 小明测试每分钟跳绳的数量，前四次跳绳的数量分别是 \(180\) 下、\(180\) 下、\(175\) 下和 \(185\) 下，第五次跳绳的数量比这五次跳绳的平均数量多 \(32\) 下，那么这五次跳绳的平均数是多少下？第五次跳了多少下？
练习： 王华期中考试数学、语文、英语三科的平均分是 \(98\) 分，其中语文 \(94\) 分，数学和英语的分数相同。请问王华的数学和英语各得了多少分？
练习： 王红期末考试语文、英语两科的平均成绩是 \(94\) 分，数学、英语两科的平均成绩是 \(96\) 分，语文数学两科的平均成绩是 \(98\) 分。请问王红这三科的成绩分别是多少？
练习： 小刚所在班级的六名学生（不包括小刚）在体育课上 1 分钟跳绳的平均成绩是 \(102\) 下，小刚 \(1\) 分钟跳了 \(130\) 下。请问总共七名同学的平均成绩是多少？
练习： “航海”号渔船出海捕鱼。上半月出海 \(12\) 天，共捕鱼 \(599\) 吨，下半月出海 \(13\) 天，平均每天捕鱼 \(52\) 吨。请问“航海”号渔船这个月在出海的日子里平均每天捕鱼多少吨？