角

本章我们来学习“角度”相关的概念。角描述了线之间的关系。

43 几何-II（角：基本概念、量角器）

角度的概念

角 (angle)

定义：角 (angle) 由具有共同端点的两条射线 (ray) 组成。这两条射线称为角的边 (side) 。射线的公共端点称为角的顶点 (vertex) 。平面上两条边之间的区域称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部。

角

角的命名

以图 2 为例，你可以使用角的顶点命名它 \(\angle{A}\) ，也可以使用边上的点和顶点命名 \(\angle{BAC}\) 或 \(\angle{CAB}\) （注意你要把表示顶点的字母放在中间）。你也可以使用数字或希腊字母标注，如 \(\angle{1}\) 。

示例：如图 3 所示， \(\angle{1}\) \(\angle{AOB}\) \(\angle{BOA}\) ，均指同一个角。类似地，\(\angle{2}\) \(\angle{BOC}\) \(\angle{COB}\) ，也均指同一个角。

☐

角

♣ 请注意，在图 3 中，不能使用 \(\angle{O}\) 标记角，因为会产生歧义，无法区分 \(\angle{1}\) 还是 \(\angle{2}\) 。

角的度量（角度制）

角的度量方法之一是将圆周分为 \(360\) 份，每一份为 \(1^\circ\) ，整个圆周是 \(360^\circ\) 。在绘图时我们常常使用量角器测量角度，如图 4 所示。量角器是半圆形，标刻角度为 \(0-180^\circ\) 。

量角器

还有一种度量角度的方法是弧度制，将圆周的角度算为 \(2\pi\) ，然后将不同的角度按比例取值。你在中学会学到弧度制。在小学阶段，无论课内课外，我们都只使用角度制进行计算。

角的种类

定义：小于 \(90^\circ\) 的角称为锐角 (acute angle)。等于 \(90^\circ\) 的角称为直角 (right angle) 。大于 \(90^\circ\) 且小于 \(180^\circ\) 的角称为钝角 (obtuse angle) 。等于 \(180^\circ\) 的角称为平角。

角的种类

示例：如图 6 所示，计算 \(\angle{BOE}\), \(\angle{COB}\) 和 \(\angle{COE}\) 的值，并指出角的种类（锐角、直角还是钝角）。

量角器量角

示例：使用量角器，测量图 7 的各个角。

测量角度

示例：量一量，在图 8 中，哪些角是相等的？哪些角的和是 \(180^\circ\) ？

探索角度之间的数量关系

示例：图 9 中有多少个锐角？

有多少个锐角？

角平分线

定义：角平分线 (angle bisector)

一个角可以切分成两个相等的角(Euclid I.9)。

定义： 角平分线是从角的顶点引出的一条射线，它将角平分为两个相等的部分。

如图 10 所示， \(OM\) 是 \(\angle{LON}\) 的角平分线。

示例： (Euclid I.9) 使用直尺和圆规，作 \(\angle{AOB}\) 的角平分线。

动画角平分线的作图

作图

[(1)] 在 \(OA\) 上选取一点 \(O_1\) 以 \(O\) 为圆心 \(OO_1\) 为半径做圆，交 \(OB\) 于点 \(O_2\) 。
[(2)] 选取一个大于 \(O_1O_2/2\) 的半径，分别以 \(O_1\) 和 \(O_2\) 为圆心做圆，则两圆必有交点。
[(3)] 任取其中一个交点 \(P\) ，则 \(OP\) 即为 \(\angle{AOB}\) 的角平分线。\(\square\)

角平分线的尺规作图

注：说明上述作图过程是角平分线的经典方法是利用全等三角形定理： \(OO_1=OO_2\) ，\(O_1P=O_2P\) ， \(OP=OP\) ，因此三角形 \(OO_1P\) 全等于三角形 \(OO_2P\) 。全等三角形定理在《几何原本》中是非常靠前的概念（第八命题 Euclid I.8），但是小学几何学中并不涉及这一定理。

思考与讨论

根据上述作图过程，你能说明为什么 \(OP\) 是角平分线么？
看看《几何原本》的命题 I.9 ，那里的作图方法和上述示例有什么不同？

示例： (Euclid I.10) 使用直尺和圆规，将一条线段 (AB) 平分为相等的两部分。

作图 (1) 以 \(AB\) 为半径，分别以 \(A\) 和 \(B\) 为圆心做圆，交于 \(C\) 、 \(D\) 两点。连接 \(CD\) 交 \(AB\) 于 \(H\) ，\(H\) 平分 \(AB\) 。

☐

做线段的中垂线

动画做线段的中垂线

实际作图无需作完整的圆，只要作部分圆弧得到交点即可。以直线等分点的作图为例，无需绘制两个完整的圆，只需目测交点的大概位置，然后绘制小圆弧即可，如图 15 所示。

在尺规作图中画出部分圆弧

示例： (Euclid I.11) 过直线上一点，可以做该直线的垂线。

作图

[(1)] 以 \(H\) 为圆心，任意半径做圆，交直线于 \(A\) 、 \(B\) 两点。
[(2)] ：以 \(AB\) 为半径，分别以 \(A\) 和 \(B\) 为圆心做圆，交于 \(C,D\) 两点。连接 \(CD\) ，必过 \(H\)，即为所求垂线。
☐

过直线上一点做垂线

将新问题转换为已有问题，是非常重要的数学思想。在本例中，做圆 \(H\) 后，问题即转换为“做线段的中垂线”。

思考与讨论

设想你是古人，你手里只有一根长长的绳子，你如何模拟上述作图过程？（平分和垂线）
上述问题（过直线上一点做垂线）还可以转化为本讲义已有的其它问题么？

示例： (Euclid I.12) 过直线外一点（点 \(P\) ），可以做该直线的垂线。

作图 (1) 在直线的另一侧取一点 \(C\) ，以 \(PC\) 为半径， \(P\) 为圆心做圆，交直线 \(\alpha\) 于 \(AB\) 两点。 (2) 以 \(PA\) 为半径，\(A\) 和 \(B\) 为圆心分别做圆，两圆相交于 \(P\) 点和另一点 \(Q\) 。 (3) 连接 \(PQ\) ，即为所求做直线 \(\alpha\) 的垂线。\(\square\)

过直线外一点做垂线

成对的角

邻角

邻角 (adjacent angles)

定义：邻角是指处在同一平面上的两个角，它们有公共顶点，有一条公共边，且无公共的内部点。

如图 18 所示， \(\angle{1}\) 和 \(\angle{2}\) 是邻角， \(\angle{3}\) 和 \(\angle{4}\) 是邻角。

补角 (supplementary angles) (Euclid I.13/14)

定义：两个角的和为 \(180^\circ\) ，则称这两个角互为补角。

性质：两条直线相交，则邻角互为补角。

如图 19 所示，\(\angle{1}\) 和 \(\angle{3}\) 是补角。

请注意，上述从平角得到补角的逆命题也是成立的。即：如果两个邻角的和是 \(180^\circ\) ，那么这两个角的非公共边组成一条直线 (Euclid I.14) 。

对顶角

对顶角 (vertical angles) (Euclid I.13)

定义：两个角的边互为对方边的反向延长线（射线），则称这两个角是对顶角。对顶角的范围介于 \(0^\circ\) 与 \(180^\circ\) 之间。

性质：对顶角相等。

如图 19， \(\angle{1}\) 和 \(\angle{2}\) 是对顶角， \(\angle{3}\) 和 \(\angle{4}\) 是对顶角。

直角的两部分互为余角

余角 (complementary angles)

定义：两个角的和为 \(90^\circ\) ，则称这两个角互为余角。

性质：直角被分成两部分，则两部分互为余角。

如图 20 所示， \(\angle{AOB}\) 和 \(\angle{BOC}\) 互为余角。

♣ 请注意：余角（补角）仅仅是针对角的大小，并不针对角的位置。两个角互为余角（补角），不需要它们是邻角（挨着）。

在几何题目中，补角和余角常常作为隐含的两角之和的数量关系给出，请看如下示例。

示例：在图 21 中， \(\angle{AOC}\) 是平角。 \(\angle{BOC}\) 的角度是 \(\angle{AOB}\) 的两倍多 \(30\) 度。求 \(\angle{AOB}\) 和 \(\angle{BOC}\) 的度数。

测量角度

分析这道题本质上就是和倍问题。平角设定和邻角之间的关系给出了角度之间和的关系。

示例：在图 22 中，哪些角互为余角，哪些角互为补角。

角之间的关系

示例： \(\angle{A}\) 和 \(\angle{B}\) 的余角互为余角，那么\(\angle{A}\) 和 \(\angle{B}\) 的补角：

A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 差 \(90^\circ\) E. 和为 \(270^\circ\)

平行线相关的角

平行直线

定义：平行直线是指在同一个平面内向两端无限延长而不相交的直线。

性质：过直线外一点，能且只能做一条直线与已知直线平行（Euclid I.31 / 普莱费尔公理）。

♣ “过直线外一点，能且只能做一条直线与已知直线平行”，这是对几何学所探讨的空间进行的前提假设。简单地说，这假设了我们所在的空间是“平直”而非“弯曲”的。虽然我们这里出于直观将其列为“性质”，但它在几何学中的意义远远不是性质。对它的详细讨论超出了小学课内外数学的教学范围。请参见下页材料《平行公设》。

直线交非平行线形成的角

直线交平行线形成的角

内（外）错角、同位角和同旁内角

定义：两条直线被第三条直线所截，会形成内（外）错角、同位角和同旁内角。如图 24 所示：

\(\angle{1}\) 与 \(\angle{2}\) 是内错角， \(\angle{3}\) 与 \(\angle{4}\) 是内错角；
\(\angle{6}\) 与 \(\angle{7}\) 是内错角， \(\angle{5}\) 与 \(\angle{8}\) 是内错角；
\(\angle{4}\) 与 \(\angle{6}\) 是同位角， \(\angle{2}\) 与 \(\angle{5}\) 是同位角；
\(\angle{1}\) 与 \(\angle{8}\) 是同位角， \(\angle{3}\) 与 \(\angle{7}\) 是同位角。
\(\angle{1}\) 与 \(\angle{4}\) 是同旁内角， \(\angle{2}\) 与 \(\angle{3}\) 是同旁内角。

性质：如果一条直线与两条平行线相交，内（外）错角相等，同位角相等，同旁内角互补 (Euclid I.29) 。

性质：上述性质的逆命题也成立，即：“内错角相等则两直线平行”（对于其它角，也有类似结论）(Euclid I.27/28)。

示例：根据平行线所成角的性质判断，在图 25 中，哪些角相等？哪些角互补？

平行线形成的角

（选读）平行公设 - 维基百科

平行公设（英语：Parallel postulate），也称为欧几里得第五公设，因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说：

如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。

假定所有欧几里得公设（当中包括平行公设）都成立的几何称为欧几里得几何。假定平行公设不成立的称为非欧几里得几何。……

欧几里得几何的有些性质与平行公设等价，也就是假设平行公设成立，可推导出这些性质，反过来假设这些性质的一项为公理，也可以推导出平行公设。其中最重要的一项，也是最常作为公理代替平行公设的，要算是苏格兰数学家约翰·普莱费尔提出的普莱费尔公理：

给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。

这里有个问题要提出来，即在证明第五公设时，平面是不加定义，如果平面作如下定义：满足第五公设的面定义为平面。这实际上可用公理法对平面作定义。如果有这定义，第五公设是自明的。这才符合直观。

很多人尝试用前四条公设证明平行公设都不成功，反而创造了违反平行公设的双曲几何。最后由意大利数学家贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）证明了平行公设独立于前四条公设。

很多与平行公设等价的命题，似乎与平行线无关。有些性质更看似很明显，因而被一些声称证明了平行公设的人不经意用到了。这里是一些命题：

三角形内角和为两直角。
所有三角形的内角和都相等。
存在一对相似但不全等的三角形。
所有三角形都有外接圆。
若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。
存在一对等距的直线。
若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。

在初等教育阶段我们不关心平行线的千年恩怨。引入平行线形成的这些角（内错角，同位角和同旁内角）的主要目的是在下一章中推导三角形的内外角的数量关系。

三角形的分类

课程 48.1 三角形的分类、稳定性和内角和

等边和等腰三角形

定义： (Euclid Def-I.20) 三角形中，三条边相等的称等边三角形，两条边相等的称等腰三角形，各边都不相等的称不等边三角形。

等腰三角形中两条相等的边称为“腰”，其对角称“底角”。

图 27 所示均为等腰三角形，其中最右侧的是等边三角形。

等腰三角形

等腰/等边三角形的性质

性质：等腰三角形两底角相等 (Euclid I.5)

请注意：上述命题的逆命题也是成立的：

性质：有两个角相等的三角形是等腰三角形(Euclid I.6)

性质：等边三角形的三个内角相等，反之亦然，三个内角相等的三角形是等边三角形。

示例： (Euclid I.1) 使用直尺和圆规，以给定线段 \(AB\) 为边，做等边三角形。

作图

[(1)] 以 \(AB\) 为半径，\(A\) 和 \(B\) 为圆心分别做圆。
[(2)] 两圆交于两点，任取一个交点 \(C\) 连接 \(AC\) 和 \(BC\) ， \(ABC\) 即为所求做的等边三角形。
☐

等边三角形的作图

动画等边三角形的作图

锐角、钝角和直角三角形

定义：锐角三角形是所有内角均为锐角的三角形。

定义：钝角三角形是其中一角为钝角的三角形。

定义：直角三角形是有一个角是直角的三角形。

锐角、钝角和直角三角形

三角形的稳定性

性质：三角形稳定性：当一个三角形的三边长度均确定时，三角形的面积和形状都不会改变。

定理：如果两个三角形有三边对应相等，那么这两个三角形的所有对应角都相等（全等三角形定理，Euclid I.8 ）。

三角形的稳定性在构造建筑物或其它结构时有着重要作用，例如图 31 所示的铁路桥。

铁路桥

思考与讨论

你如何证明上述全等三角形定理？
你需要几个条件（关于边和角），才能唯一确定一个三角形呢？（这实际上是三角形的三种全等判定方法 Euclid I.4/8/26）

三角形的角

三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和是 \(180^\circ\) 。延长三角形任意一边所形成的外角，等于另外两个内角的和。(Euclid I.32)

定理是那些不那么明显的性质。定理往往需要论证才能让人信服。我们将以三角形内角和为 \(180^\circ\) 这一定理的证明向你展示几何证明的过程。

一般来说，你会在课堂上学到用内错角相等性质证明三角形内角和定理，下面的示例就是这样进行证明。但其实这些命题都是等价的，它们都等价于平行公设。

示例：用平行线及相关角的性质，证明三角形内角和定理。

证明在任意 \(\triangle{ABC}\) 中，任取一顶点（如 \(A\)）做对边（如 \(BC\)）的平行线，如图 32 所示。（普莱费尔公理保证了这条平行线一定能做出来）

证明三角形内角和为 \(180^\circ\)

\(\angle{1}=\angle{B}\) 且 \(\angle{2}=\angle{C}\) （平行线的内错角相等）

\(\angle{A}+\angle{1}+\angle{2}=180^\circ\) （平角等于 \(180^\circ\)）

因此，\(\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=180^\circ\)

综上所述，命题得证。\(\square\)

这是很多教科书上的证明方法。在下面的思考题中，我们给出欧几里得本人使用的图。

思考与讨论

利用图 33 证明上述三角形的内角和为 \(180^\circ\) 及外角等于两内角之和的性质。
《几何原本》的第五公设是“同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交”。这是欧几里得几何学对空间性质的基本假设。尝试理解这个公设和“三角形内角和是 \(180^\circ\)”这一命题的等价性。
阅读《几何原本》至“三角形内角和定理”（命题 I.32），感受欧几里得创建的公理体系。

证明三角形内角和为 \(180^\circ\)

示例：等腰三角形的两个角分别为 \(70^\circ\) 和 \(x^\circ\) 。 \(x\) 所有可能的值的和是多少？

解：所有可能的情况如图 34 所示， \(x\) 的值可能是 \(55\), \(40\) 和 \(70\) 。

答案是 \(55+40+70=165\) 。 \(\square\)

asd

示例：¹ 在 \(\triangle{CAT}\) 中， \(\angle{ACT}=\angle{ATC}\) 且 \(\angle{CAT}=40^\circ\) 。如果 \(TR\) 平分 \(\angle{ATC}\) ，那么 \(\angle{CRT}\) 是多少度？

示例：图 36 中， \(\angle{A}=22^\circ\) ， \(\angle{AFG}=\angle{AGF}\) 。求 \(\angle{B}+\angle{D}\) 的值。

解：利用上述三角形的内角外角数量关系 (Euclid I.32) 计算：

\(\angle{AFG}+\angle{AGF}+\angle{A}=180^\circ\) （三角形内角和）

\(2\angle{AFG}+22^\circ=180^\circ\) （\(\angle{A}=22^\circ\), \(\angle{AFG}=\angle{AGF}\)）

\(\angle{AFG}=(180^\circ-22^\circ)/2=79^\circ\) （等量运算规则）

\(\angle{B}+\angle{D}=\angle{AFG}\) （外角等于两内角和）

综上所述，\(\angle{B}+\angle{D}=79^\circ\) \(\square\)

思考与讨论

上述问题的题设条件能将图形完全确定么？
请绘制几个不同但符合题意的图形。

示例：如图 37 ，求 \(\angle{A}\) 的角度。

解：本题依然是使用三角形的角度关系求解。当图中的标注不够时，你要自行补充一些标注，如图 38 所示。

\(\angle{B}=180^\circ-105^\circ=75^\circ\) （平角是 \(180^\circ\) ）

\(\angle{C}=115^\circ-40^\circ=75^\circ\) （对顶角相等，外角等于两内角和）

\(\angle{A}=180^\circ-\angle{B}-\angle{C}=30^\circ\) （三角形内角和为 \(180^\circ\) ）

综上所述， \(\angle{A}=30^\circ\) \(\square\)

标注后的图形

思考与讨论

如何绘制题目描述的图形？
如果把 \(40^\circ\) 的角改小 \(10^\circ\) 变为 \(30^\circ\)，\(\angle{A}\) 的角度如何变化？
随着 \(40^\circ\) 的角不断变小，图形从直观上如何变化？

多边形的角

多边形

定义：多边形是平面的封闭图形，由三条或以上的线段首尾连接组成。

定义：简单多边形是边不相交的多边形。简单多边形能将平面分成两个区域，即区内和区外。

定义：凸多边形的内角都不大于 \(180^\circ\) 的简单多边形。不是凸多边形的简单多边形是凹多边形。

如图 39 所示，左起第一个和第二个图形是凸多边形，第三个和第四个是凹多边形，这四个多边形都是简单多边形。

多边形

凸多边形的外角和定理

定理：简单多边形的内角和是 \((n-2)\cdot180^\circ\) ，其中 \(n\) 是多边形的边数。

定理：凸多边形的外角和是 \(360^\circ\) 。

凸多边形的外角

你可以用图 40 理解凸多边形的外角和。你想象自己从一个顶点出发，沿着多边形走一圈，每次经过一个顶点，拐过一个外角的角度。一圈走下来，你也正好转过一圈 \(360^\circ\) 。

这就是外角和是 \(360^\circ\) 的直观道理。自然内角和就是顶点（边）的数目乘以 \(180^\circ\) 再减去外角和（\(360^\circ\)）

思考与讨论

上述“证明过程”的逻辑链条有什么破绽？
你能构建一个严格的证明么？
凸多边形的外角和定理能推广至凹多边形么？
上述定理能推广至非简单多边形么？
你能写出正多边形的内角及外角的计算公式么？

四边形的内角和性质

性质：简单四边形的内角和是 \(360^\circ\)。

性质：简单四边形的三个内角之和等于另一内角在圆周角上的邻角。

上述性质是多边形内角和的直接推论。这些性质对凸四边形和凹四边形都成立。如图 41 所示， \(\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=\angle{1}\) 。

四边形的内角和性质

示例：如图 42 所示，求 \(\angle{A}+\angle{B}\) 的值。

解：从图形中抽取核心的四边形 \(ABCD\) 。

\(\angle{1}=110^\circ\) （对顶角相等）

\(\angle{A}+\angle{B}+\angle{D}=\angle{1}=110^\circ\) （四边形内角和性质）

\(\angle{A}+\angle{B}=110^\circ-\angle{D}=70^\circ\) （\(\angle{D}=40^\circ\)）

综上所述，\(\angle{A}+\angle{B}=70^\circ\) 。 \(\square\)

思考与讨论

求五角星的五个角的度数之和。即如图 44 所示的 \(\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}+\angle{D}+\angle{E}\) 。
你能将结论推广至“多角星”么？

做图训练

练习：做直线 \(A_1B_1\)、\(A_2B_2\)、\(A_3B_3\)、\(A_4B_4\)、\(A_5B_5\) 两点做直线。注意：你绘制的直线要均匀穿过点的中心

正确和错误示例

练习：以给定圆心 \(O_k\) ，过给定点 \(C_k\) 做圆。 注意：你绘制的圆要均匀穿过点的中心

练习：以给定线段 \(AB\) 为一条边，做等边三角形。

练习：绘制圆内接正六边形

练习：以线段 \(AB\) 为底，\(CD\) 长度为腰的长度，做等腰三角形。

练习：以线段 \(AB\) 为一腰，\(CD\) 长为底边长，做等腰三角形。

练习：使用直尺和圆规，做线段 \(AB\) 的垂直平分线。

练习：使用直尺和圆规，过直线上一点 \(A\) 做直线的垂线。

练习：使用直尺和圆规，过直线外一点 \(A\) 做直线的垂线。

练习：使用直角尺或带直角刻度线的尺子，过直线外一点 \(A\) 及直线上一点 \(B\) 分别做直线的垂线。

练习：做出\(\triangle{ABC}\) 关于给定直线的对称图形。

练习：做出\(\triangle{ABC}\) 关于点 \(O\) 的中心对称图形。

基础练习

练习：在图 46 中，有多少个锐角，又有多少个钝角？

练习： \(\angle{A}\) 和 \(\angle{B}\) 互为余角。 \(\angle{A}\) 比 \(\angle{B}\) 大 \(10^\circ\) 。\(\angle{A}\) 和 \(\angle{B}\) 的度数各是多少？

练习： \(\angle{A}\) 的补角是 \(\angle{A}\) 的余角的四倍。 \(\angle{A}\) 的度数是多少？

练习：² 在图 47 中， \(\angle{1}+\angle{2}=180^\circ\) ， \(\angle{3}=\angle{4}\) 。求 \(\angle{5}\) 的度数。

练习：计算正五边形和正六边形的外角及内角度数。

正五边形及正六边形

练习：使用量角器及其它绘图工具，绘制正五边形。

练习：根据图 49 各个等腰三角形的顶角度数求对应的底角度数。

等腰三角形

练习：根据图 50 各个等腰三角形的底角度数求对应的顶角度数。

等腰三角形

练习：套公式求图 51 各个等腰三角形的未知底角或顶角的度数。 \[\begin{align*} base&=\dfrac{180^\circ-top}{2}\\ top&=180^\circ-base\cdot2 \end{align*}\]

等腰三角形

示例：针对第一个图：\(base=63^\circ\) \[top=180^\circ-base\cdot2=180^\circ-63^\circ\cdot2\]

练习：求图 52 中问号标示的角的度数。

三角形的外角

练习：做出图 53 所示各等腰三角形的对称轴

等腰三角形

综合习题

和差倍问题

某个角是自身补角的两倍，这个角的度数是多少？

³ 某个角的余角是补角的 \(\dfrac{1}{3}\) ，这个角的度数是多少？

⁴ 某个角的补角是余角的两倍半，这个角的度数是多少？

⁵ 一个角，余角是补角的 \(\dfrac{1}{7}\) 。该角的余角是多少度？

A. \(15^\circ\) B. \(60^\circ\) C. \(75^\circ\) D. \(105^\circ\) E. \(120^\circ\)

⁶ 如图 54 所示， \(\angle{KPL}\) 和 \(\angle{JPL}\) 互为补角。 \(\angle{KPL}=(2x+24)^\circ\) ， \(\angle{JPL}=(4x+36)^\circ\) 。求 \(\angle{KPL}\) 和 \(\angle{JPL}\) 的度数。

计算补角的角度

⁷ 一个锐角，它的补角的两倍比余角的五倍多 \(27^\circ\) 。求该锐角的角度。

A. \(17^\circ\) B. \(23^\circ\) C. \(31^\circ\) D. \(39^\circ\) E. \(47^\circ\)

在 \(\triangle{ABC}\) 中， \(\angle{B}\) 是 \(\angle{A}\) 的两倍， \(\angle{C}\) 是 \(\angle{B}\) 的两倍还多 \(5^\circ\) 。求 \(\triangle{ABC}\) 三个内角的度数。

等腰三角形及直角三角形

⁸ 如图 55 所示， \(AB=AD\) ， \(BD=CD\) ， \(\angle{C}=19^\circ\) 。求 \(\angle{A}\) 的度数。

⁹ 图 56 中，\(AC=CD\) ， \(\angle{CAB}-\angle{ABC}=40^\circ\) 。求 \(\angle{BAD}\) 的度数。

¹⁰ 如图 57 所示， \(\angle{ABC}=55^\circ\) ， \(\angle{ACB}=45^\circ\) ， \(CA=DA\) 。求 \(\angle{DCB}\) 的度数。

¹¹ 如图 58 所示， \(B C D\) 三点在以 \(A\) 为圆心的圆上， \(\angle{CAB}=45^\circ\) 。求 \(\angle{CDB}\) 的度数。

¹² 图 63 中， \(AB=CB\) ， \(ABDE\) 和 \(CBFG\) 是矩形， \(\angle{BAC}=70^\circ\) 。求 \(\angle{DBF}\) 的度数。

¹³ 图 60 中， \(\angle{DAB}=30^\circ\) ， \(AB=AC\) ，\(BD=CD\) ，\(AE=AD\) ，求 \(\angle{EDC}\) 的度数。

图 61 所示，在 \(\triangle{ABC}\) 中， \(D\) 是 \(AC\) 上一点， \(AB=AD\) ，\(\angle{CBD}=18^\circ\) 。求 \(\angle{ABC}-\angle{ACB}\) 的度数。

¹⁴ 如图 62 所示， \(\angle{A}=90^\circ\) ，则 \(\angle{C}+\angle{D}=\)

A. \(2\angle{B}\) B. \(90^\circ+\angle{B}\) C. \(180^\circ-\angle{B}\)

D. \(180^\circ-2\angle{B}\) E. \(90^\circ-\angle{b}\)

¹⁵ 图 63 中， \(\angle{ABC}=110^\circ\) ， \(\angle{C}\) 是直角。求 \(\angle{CDF}\) 的度数。

¹⁶ 图 64 中， \(DF\) 与 \(CB\) 相交于点 \(E\) ， \(DA\) 和 \(CB\) 相交于点 \(C\) ， \(AB\) 和 \(DF\) 相交于点 \(F\) ， \(DF\perp BA\) ， \(\angle{FEC}=160^\circ\) ， \(\angle{A}=\angle{B}\) 。求 \(\angle{ECA}\) 的度数。

角平分线相关问题

¹⁷ 图 65 中，\(\angle{B}=40^\circ\) ， \(\triangle{ABC}\) 的两条内角平分线交于点 \(D\) 。求 \(\angle{ADC}\) 的度数。

¹⁸ 图 66 中，\(\angle{C}=70^\circ\) ， \(\triangle{ABC}\) 的两条内角平分线 \(BE\) 和 \(AD\) 交于点 \(P\) 。求 \(\angle{APE}\) 的度数。

¹⁹ 在图 67 中， \(\triangle{ABC}\) 的外角平分线 \(TB\) 和 \(CQ\) 交于点 \(Q\) ，则 \(\angle{BQC}\) 的角度：

A. 等于 \(\angle{CAN}\) B. 等于 \(\dfrac{\angle{CAN}}{2}\)

C. 等于 \(\dfrac{\angle{CAN}}{3}\) D. 等于 \(\dfrac{\angle{CAN}}{4}\) E. 以上都不对

²⁰ 如图 68 所示，在 \(\triangle{ABC}\) 中， \(\angle{A}=50^\circ\) ， \(\angle{C}=80^\circ\) 。 \(CP\) 和 \(AR\) 分别是 \(\angle{C}\) 和 \(\angle{A}\) 的角平分线。求 \(\angle{ARC}\) 的度数。