进位制和记数法

¹ 中国劳动人民，在长期的实践中，创造与发展了记数、分数、小数、正负数以及无限逼近任一实数的办法，实质上达到了整个实数系统的完成。特别是自古就有了完美的 10 进位位值制的记数法。这是中国的独特创造，是世界其他古代民族都没有的。这一创造对世界文化贡献之大，如果不能与火的发明相比，也是可以与火药、指南针、印刷术一类发明相媲美的。

十进制记数和阿拉伯数字

中国在商代就已经采用十进制记数法，是最早采用十进制记数的文明。印度人在此基础上发明了“零”和今天普遍采用的数字记号。这是两个东方古国对世界文明重要的贡献。今天我们普遍采用 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这十个数字进行记数，数字在个位、十位、百位或千位则表示不同的位值。值得一提的是，在人类文明的早期，十进制并不是理所当然的。古巴比伦人虽然有位值的概念，但采用了六十进制。古希腊和古罗马人采用了五进制和累加法表示数字。古埃及人用有限的几个象形符号来表示不同的数字，在表示较多数量时采用累加法。

甲骨文“三万”

图 2 给出了除中国之外，世界各主要文明在发展过程中形成的记数符号。最后一行就是我们今天使用的“阿拉伯数字”，这是先由印度人发明，再经阿拉伯人传播到欧洲的数字符号。这种符号成为今天世界各地统一使用的符号，是不同语言文化民族之间的联系纽带。

各个文明的记数符号：从上至下分别是古巴比伦、古埃及、古玛雅、希腊、罗马、印度、阿拉伯和印度-阿拉伯数字 摘录自 (Billstein 2013) - page 56 “Numerations Systems - Table I”

示例： 将十进制数 \(5643\) 表示成 数字乘以 \(10\) 的方幂的形式。

数字处于不同的位置，代表的含义不同。千位的 \(5\) 代表 \(5000\) ，百位的 \(6\) 代表 \(600\)

\[5643=5\times10^3+6\times10^2+4\times10^1+3\times10^0\]

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十进制记数法有一些特殊的结论，可以用于计算或验算，也是小学数学考试中喜闻乐见的题目类型。由于并非本章讨论的重点，所以只列出一个性质供读者参考：

示例： 计算 \(121\) 除以 \(9\) 的余数。

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示例： 计算 \(123456789\) 除以 \(9\) 的余数。

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根据以上推理过程，再思考思考：

外星球的八进制

我们这个星球的人们最终选择了十进制作为日常生活中的记数手段。如果另外星球的智慧生物有八根手指，那么他们很有可能会选用八进制作为他们的基础进位制，即“逢八进一”。他们可能会如图 4 所示记数。

八进制记数（黑色圆点代表八个白色圆点）

当然更加靠谱的方法是也采用和我们星球类似的阿拉伯数字系统。如果也采用我们的数字符号，他们只需要 0-7 这八个数字。如图 5 所示。

八进制的阿拉伯数字符号记数

这个星球的小学生也学习加法。他们的加法表和乘法表如表 6 所示。请你将其中尚未计算完成的部分补充完整。

--------------------------`加法表`--------------------------
1+1= 2
1+2= 3  2+2= 4
1+3= 4  2+3= 5  3+3= 6
1+4= 5  2+4= 6  3+4= 7  4+4=10
1+5= 6  2+5= 7  3+5=10  4+5=11  5+5=12
1+6= 7  2+6=10  3+6=11  4+6=12  5+6=13  6+6=14
1+7=10  2+7=11  3+7=12  4+7=13  5+7=14  6+7=15  7+7=16
--------------------------`乘法表`--------------------------
1x1=1
1x2=2   2x2= 4
1x3=3   2x3= 6  3x3=
1x4=4   2x4=10  3x4=    4x4=
1x5=5   2x5=12  3x5=17  4x5=24  5x5=
1x6=6   2x6=14  3x6=22  4x6=30  5x6=    6x6=
1x7=7   2x7=16  3x7=25  4x7=    5x7=    6x7=    7x7=61

示例： 计算八进制加法 \(34+56\)

用竖式计算八进制加法

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示例： 计算八进制的乘法 \(34\times56\)

用竖式计算八进制乘法

☐

示例： 计算八进制的加法 \(56+78\)

示例： 计算八进制的乘法 \(56\times78\)

进位制转换

同样多的数量可以用不同的进位制记数，如图 9 所示。如何在进位制之间进行转换呢？因为我们习惯于十进制，所以首先学习利用以十进制为基础的计算方法。在下文中，我们首先讨论从其它进位制向十进制的转换，再讨论从十进制向其它进位制的转换。最终我们将抛弃十进制的特殊地位，讨论各种进位制的转换问题。

用不同的进位制表示同样的数量

从八进制转换为十进制

用石头子记数的方法，可以很容易理解进位制的转换。

八进制到十进制

以八进制数 \(21_8\) 为例，这个转换的过程如图 10 所示。如果以十进制记数法进行计算，那么就无需特别地去做“逢十进一”操作，计算过程如下所示： \[21_8=2_{10}\times8_{10}+1_{10}=17_{10}\]

示例： 将八进制数 \(1234_8\) 转换为十进制数。

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Windows/Mac/Linux 等操作系统自带的计算器可以完成八进制到十进制的转换。在练习中，你可以使用这种手段进行验算。

从十进制转换为八进制

使用除法来转换十进制数字为其它进位制。例如十进制数字 \(17_{10}\) ， \(8\) 个 \(1\) 组，能分出 \(2\) 组还余 \(1\) 个。也就是 \(17_{10}=21_8\) 。

十进制到八进制

示例： 将十进制数 \(668_{10}\) 转换为八进制数。

解法一 从高位至低位，将 \(668\) 拆解成 \(8\) 的幂次之和。

• 首先是 \(8^3=512\) ，\(668\) 去掉 \(512\) 还剩 \(156\) ；
• 然后是 \(8^2=64\) ， \(156\) 可以去掉 \(2\) 个 \(64\) 剩下 \(28\) ；
• 然后是 \(8\) ， \(28\) 去掉 \(3\) 个 \(8\) 剩下 \(4\) 。

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用连续除法进行转换

二进制

二进制在信息时代发挥着至关重要的作用。二进制只有两个符号， \(0\) 和 \(1\) 。现代的二进制是法国数学家莱布尼茨发明的，相传他受到了中国八卦图的启发。

二进制和十进制的对应

二进制与十进制的转换

使用类似的 节的方法，可以很容易地进行二进制记数和十进制记数的转换。

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示例： 将十进制数 \(53_{10}\) 转换为二进制记数。 \[53=32+16+3+1=110101_2\]

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用连续除法进行转换

用二进制计算

二进制的基本计算规则很简单：

• 加法：\(0+0=0\), \(0+1=1\), \(1+0=1\), \(1+1=10\)
• 减法：\(0-0=0\), \(1-0=1\), \(1-1=0\), \(10-1=1\)
• 乘法：\(0\times0=0\), \(0\times1=0\), \(1\times0=0\), \(1\times1=1\)
• 除法：\(0\div1=0\), \(1\div1=1\)

计算 \(1101_2\times1011_2\) 。

二进制乘法

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古代记数法

正字记数法 (Tally Numeration System)

人类最初的计数是使用石头、木棍或者刻道。摘了多少苹果，就在洞穴的石壁上划多少道。划道多了不好清点，就五个一组，如图 16 所示。

在洞穴上划道

这种记数法在今天也很常见，我们选举班干部时，就经常使用“画正字”的方法统计选票。

画正字

这种记数方法的好处是无需改变已有的记号就可以不断地递增记数。想象一下，如果你是原始人，在洞穴上刻阿拉伯数字，不断地跟随增加的苹果数简直是一场灾难。

古埃及记数法

古埃及文明在公元前 3400 年发展出自己的记数法。古埃及人用单独的符号表示整十整百，如图 18 所示，但依然用划道表示 1 到 9 。较复杂的多位数则通过重复这些符号来表示。

古埃及数字

古埃及石刻壁画

举例来说，埃及卡纳克神庙中的一个石刻如图 20 所示，它表示 \(4622\) 这一数字。可以发现，古埃及人并没有发明类似 \(1-9\) 的数字，相反他们把不同的记号用于表示不同的位值。这种计数方法使用起来其实很繁琐。

古埃及数字 4622

扩展学习：古埃及人创造了灿烂的文明，观看左侧 ID 所示视频，了解古埃及人的数学。

古巴比伦记数法

巴比伦数字：图片来源 Josell7-File:Babylonian_numerals.jpg，CC BY-SA 4.0，

巴比伦记数法

图 21 是古巴比伦人的记数法。古巴比伦人对于 \(60\) 以上的数，采用位置计数。例如：\(67_{10}=1\times60+7\) ，巴比伦人会先用表示 \(1\) 的符号在高位标记，然后用表示 \(7\) 的符号在低位标记，如图 所示。

示例： 将 \(524551_{10}\) 转化为巴比伦记数符号。

解： 首先先用连续除法将其转换为 60 进制记数：

巴比伦记数法

再将其制作成巴比伦符号：

巴比伦记数法

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观看左侧 ID 所示视频，了解古巴比伦人的数学。

古巴比伦泥板

古玛雅记数法

玛雅文明使用的二十进制记数系统。玛雅数字的 1 到 19 使用点和横线表示。点表示 1 ，横线表示 5 。玛雅文明使用贝壳代表 0 ，这在记数系统中非常关键。在我们之前讲的古埃及文明和古巴比伦文明是没有符号 0 的，在涉及某些数字时会非常不便。

玛雅记数法

将 \(2005_{10}\) 转化为玛雅记数符号。

使用连续除法将其转换为 20 进制记数： \[2005=5\times20^2+0\times20+5\]

再将其转换为玛雅记数符号：

玛雅数字 2005

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罗马记数法

罗马记数法从公元前 3 世纪就开始欧洲使用，直到今天依然应用广泛，如图 28 所示是一些常见的罗马数字的应用场景。

罗马数字的应用

罗马数字的基本形式是把这些字母代表的数字加起来。例如 MDCLXVI 代表 \(1000+500+100+50+10+1=1666\) ， CCCXXVIII 代表 \(100+100+200+10+10+5+1+1+1=328\) 。

为了避免连续四个同样的字符的冗赘，在中世纪时罗马人引入了减性符号，如果一个比较小的符号在大符号左侧，那么代表的数字是二者相减。比如 IV 代表 \(5-1=4\) ， XC 则代表 \(100-10=90\) 。

示例： 罗马数字 XCI 和 LXXIX 对应的阿拉伯数字是什么？

1. XC 代表 \(90\) ， I 代表 \(1\) 。综上， XCI 代表 \(91\) 。

2. LXXX 代表 \(80\) ， IX 代表 \(9\) 。 综上， LXXIX 代表 \(89\) 。

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为了表示大数字，罗马人用上划线表示乘以 1000 。例如 \(\rm \overline{V}\) 表示 \(5\times1000=5000\) ， \(\rm \overline{\overline{V}}\) 则表示 \(5\times1000\times1000=5,000,000\) 。

示例： 罗马数字 \(\rm \overline{\overline{\overline{CXI}}}\) 和 \(\rm \overline{D}CLIX\) 对应的阿拉伯数字是什么？

1. \(\rm \overline{\overline{\overline{CXI}}}\) 表示 \(111\times1000^3=111,000,000,000\)

2. \(\rm \overline{D}CLIX=\overbrace{(500\times1000)}^{\overline{D}}+\overbrace{(100+50)}^{CL}+\overbrace{(10-1)}^{IX}=500,159\)

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练习： 将 \(3282_{10}\) 写成展开式。

练习： 计算下列八进制算式：

1. \(67_8+45_8\) b. \(67_8\times45_8\)

练习： 八进制和十进制的互相转换：

• [a.] 将八进制数 \(3720_8\) 转换为十进制数
• [b.] 将十进制数 \(1234_{10}\) 转换为八进制数

练习： 计算下列二进制算式：

• [a.] \(1011_2+1101_2\)
• [b.] \(1011_2\times1101_2\)

练习： 二进制和十进制的互相转换：

• [a.] 将二进制数 \(101011_2\) 转换为十进制数
• [b.] 将十进制数 \(198_{10}\) 转换为二进制数

练习： 利用古埃及记数法解决以下问题：

• [a.] 使用古埃及记数法表示 1,312,322 。
• [b.] 考古学家在金字塔里发现了这样一幅壁画，如图 30 所示。你能破译出这幅壁画的数字么？